DE公式半無限積分（下側 −∞〜b）計算

半無限区間 (−∞, b) の定積分を二重指数（DE）公式で高精度に数値計算します。被積分関数 f(x)・上端 b・分点数を入力するだけ。

入力

半無限区間 (−∞, b) の定積分を二重指数（DE）公式で数値計算します。被積分関数 f(x)、上端 b、分点数を入力してください。

被積分関数 f(x)

例: exp(x)、x*exp(x)、1/(1+x^2)。sin・cos・exp・log・sqrt や pi・e、暗黙の乗算（2x）が使えます。

上端 b

積分の上端（有限の実数）。下端は常に −∞ です。

分点数

点

5〜2001 の整数。多いほど精度が上がります（偶数入力時は奇数に調整）。

積分値 ∫(−∞→b) f(x) dx

上端 b

分点数

201

計算の内訳

この計算機は下端が負の無限大、上端が有限値 b の積分 ∫(−∞→b) f(x) dx を扱います。
二重指数（DE）公式では x = b − exp((π/2)·sinh t) と変数変換します。t を −∞ から ∞ に動かすと x は b から −∞ まで動き、区間全体を覆います。
変数変換後の被積分関数は両端で二重指数的に急減衰するため、t について等間隔刻みの台形則で和を取るだけで高い精度が得られます。
重みは dx/dt の大きさ |(π/2)·cosh t·exp((π/2)·sinh t)| に等しく、各分点で f(x(t)) に掛けて加算します。
分点数を増やすほど刻み幅 h が細かくなり精度が上がりますが、端点で値が大きくなりすぎて計算不能になった分点は自動的に除外します。
f(x) は四則演算・べき乗（^）・括弧・暗黙の乗算（2x など）に加え、sin・cos・tan・asin・acos・atan・sinh・cosh・tanh・exp・log(=ln)・log10・sqrt・cbrt・abs と定数 pi・e を使えます。
数式は eval を用いず独自の再帰下降パーサで解析するため、入力式が安全に評価されます。
被積分関数が x→−∞ で十分速く 0 に収束しない場合、結果は発散・不正確になります。収束する関数にご利用ください。

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