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半無限区間(a,∞)のDE公式数値積分

f(x)・下限a・分点数を入れるだけで、半無限区間(a,∞)の定積分を二重指数(DE)公式で高精度に計算します。

入力

被積分関数 f(x)、下限 a、分点数を入力すると、半無限区間 (a, ∞) の定積分を二重指数(DE)公式で計算します。f(x) は x→∞ で十分速く減衰する関数を想定しています。

例: exp(-x), 1/(x^2), 2x exp(-x^2)。変数は x、定数 pi・e、関数 sin/cos/exp/log/sqrt など。暗黙の乗算(2x)可。

積分区間 (a, ∞) の下端。

t を 0 を中心に ±n 点とり、全体で 2n+1 点を用います(5〜2000)。

計算結果

積分値 ∫_a^∞ f(x) dx

1

下限 a

0

分点数

401

刻み幅 h

0.02

計算の内訳

下限 a0
上限∞
分点数 (2n+1)401
刻み幅 h0.02
除外された分点数0

計算方法・使い方

  • 半無限区間 (a, ∞) の定積分 ∫_a^∞ f(x)dx を二重指数(DE: double exponential)公式で数値計算します。
  • 変数変換 x = a + exp((π/2)·sinh t) を用いると、積分区間が実数全体 (−∞, ∞) に写ります。このときヤコビアンは dx/dt = exp((π/2)·sinh t)·(π/2)·cosh t です。
  • 変換後の被積分関数 g(t)=f(x(t))·(dx/dt) を、刻み幅 h の等間隔台形則で和をとって近似します。両端では被積分関数が二重指数的に急減衰するため、有限の打ち切り幅でも高精度が得られます。
  • 分点数を大きくするほど刻み幅 h が細かくなり精度が上がりますが、計算量も増えます。値が安定するまで分点数を増やして確認してください。
  • 被積分関数 f(x) は x→∞ で十分速く減衰する(積分が収束する)ことを前提とします。減衰が遅い関数や振動が続く関数では誤差が大きくなります。
  • 式は内部で独自の数式パーサにより解析します。利用できる演算は + − × ÷ ^、丸括弧、単項マイナス、暗黙の乗算(例 2x)です。変数は x、定数は pi・e、関数は sin cos tan asin acos atan sinh cosh tanh exp log(=ln) ln log10 sqrt cbrt abs が使えます。
  • この計算結果は数値近似であり、丸め誤差や打ち切り誤差を含みます。重要な用途では複数の分点数で値の収束を確認してください。

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