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一般化パレート分布 パーセント点計算

一般化パレート分布の確率 p に対するパーセント点（分位点）を、位置 μ・尺度 σ・形状 ξ から閉形式で求めます。下側・上側の指定に対応し、密度や平均分散も表示します。

入力

確率 p、入力方式、位置 μ、尺度 σ、形状 ξ を入力すると、一般化パレート分布のパーセント点（分位点）を閉形式で計算します。

0 より大きく 1 より小さい値（例: 0.95）

入力方式

p を下側確率と上側確率のどちらとして扱うか選びます。

分布の下限（しきい値）。任意の実数。

正の値。裾の広がりを決めます。

裾の重さ。正で重い裾、0 で指数、負で有限の上限。

計算結果

下側確率が 0.95 となるパーセント点 x

4.10282102

位置 μ

0

尺度 σ

1

形状 ξ

0.2

下側確率 F(x)

0.95

上側確率 1 − F(x)

0.05

確率密度 f(x)

0.02746401

平均

1.25

分散

2.60416667

台の上限

無限大

確率密度関数 f(x)

累積分布関数 F(x)

計算方法・使い方

  • 一般化パレート分布は位置 μ、尺度 σ（正）、形状 ξ の3つのパラメータで定まります。台は x が μ 以上で、ξ が負のときは μ から μ−σ÷ξ までの有限区間になります。
  • 下側確率 p のパーセント点は閉形式で求まります。ξ が 0 でないとき x ＝ μ ＋ σ×((1−p)^(−ξ) − 1) ÷ ξ、ξ が 0 のとき x ＝ μ − σ×ln(1−p) です。
  • 上側を選ぶと、上側確率が p となる点を返します。これは下側確率 1−p のパーセント点に等しくなります。
  • 累積分布は ξ が 0 でないとき F(x) ＝ 1 − (1 ＋ ξz)^(−1÷ξ)、ξ が 0 のとき F(x) ＝ 1 − exp(−z) です（z ＝ (x−μ)÷σ）。
  • 平均は ξ が 1 未満のとき μ ＋ σ÷(1−ξ)、分散は ξ が 0.5 未満のとき σ² ÷ ((1−ξ)²×(1−2ξ)) で、それを超えると無限大に発散します。
  • しきい値超過分のモデル（POT 法）など、極値統計で裾の挙動を表すのに用いられます。指数分布（ξ＝0）やパレート分布（ξ＞0）を含みます。

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