重力による時間の遅れ計算機
天体の質量と中心からの距離から、シュバルツシルト計量にもとづく重力時間遅れの比 t0/t を求めます。シュバルツシルト半径や年あたりの遅れ量、GPS補正の考え方も確認できます。
入力
天体の質量と中心からの距離を入力すると、シュバルツシルト計量にもとづく重力による時間の遅れの比を計算します。
選ぶと質量と距離が自動入力されます。値を編集すると任意設定になります。
重力源となる天体の質量を入力します。
時間を測る位置の、天体中心からの距離です。
計算結果
時間の遅れの比 t0 / t
0.999999999
遅れの割合 1 − t0/t = 6.9608e-10
シュバルツシルト半径 r_s
0.008869407 m
1年あたりの遅れ
0.021966505 s
r / r_s
718,311,821.631035
計算式 t0/t = √(1 − 2GM/(rc²)) = √(1 − r_s/r)。G = 6.674e-11、c = 299792458 m/s を用います。
GPS衛星は重力が弱い高軌道にあり時計が速く進むため、この重力時間遅れの補正が測位に必要です。
計算方法・使い方
- 時間の遅れの比は t0/t = √(1 − 2GM/(rc²)) = √(1 − r_s/r) で計算します。t0 は距離 r の位置で経過する固有時間、t は重力場から十分離れた遠方での座標時間です。
- r_s = 2GM/c² はシュバルツシルト半径です。距離 r が r_s に近づくほど時間の遅れが大きくなり、r = r_s で遠方から見て時間が止まります。r が r_s 以下の場合は式が破綻するためエラーになります。
- 用いる定数は万有引力定数 G = 6.674e-11 m³ kg⁻¹ s⁻² と光速 c = 299792458 m/s です。質量はキログラム、距離はメートルで入力してください。
- 1年あたりの遅れ量は、時間の遅れの割合 1 − t0/t に1年の秒数を掛けた近似値です。地表の弱い重力場では値はごく小さくなります。
- GPS衛星は地表より高い軌道にあり重力が弱いため、衛星の時計が地上より速く進みます。この重力時間遅れと特殊相対論の効果を補正しないと測位が日々ずれていきます。
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