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非心カイ2乗分布 非心度λ 逆算ツール

x・下側確率p・自由度kから、非心カイ2乗分布の非心度λを二分法で逆算します。検出力分析に便利です。

入力

棄却限界 x、下側確率 p、自由度 k を入力すると、累積分布 F(x;k,λ)=p を満たす非心度 λ を二分法で逆算します。

正の実数。分布を評価する点。

0 より大きく 1 未満。F(x;k,λ) の目標値。

正の実数。中心カイ2乗成分の自由度。

計算結果

x=10, p=0.5, 自由度 k=3 に対する非心度 λ

7.96006402

自由度 k

3

下側確率 p

0.5

平均 k+λ

10.96006402

分散 2(k+2λ)

37.84025606

検算 F(x;k,λ)

0.5

λ=0 の下側確率

0.98143386

非心度 λ に対する下側確率 F(x;k,λ)

計算方法・使い方

  • 非心カイ2乗分布の累積分布は、中心カイ2乗分布のポアソン重み付き混合で表せます。F(x;k,λ)=Σ e^(-λ/2)(λ/2)^j/j! × P(k/2+j, x/2) のように、ポアソン確率を重みとした中心カイ2乗の下側確率の総和になります。
  • このツールは F(x;k,λ)=p を満たす非心度λを二分法で逆算します。F はλについて単調減少（λが増えるほど分布が右へずれ、下側確率は減少）するため、二分法で安定して解が求まります。
  • 入力した下側確率pが、λ=0（中心分布）のときの下側確率を超える場合、解は存在しません。その場合はpを小さくするか、xを大きくしてください。
  • 非心分布の平均は k+λ、分散は 2(k+2λ) です。検出力分析では、棄却限界xと目標となる検出力に対応する非心度を求める用途で使われます。
  • 不完全ガンマ関数は級数展開と連分数展開を相補的に用いて計算しています。検算値が入力pとほぼ一致していれば、十分な精度で解が得られています。

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