弓形の回転体の体積計算
円の弓形を回転軸まわりに回した立体の体積を、パップス・ギュルダンの定理で算出。半径・中心角・軸距離から弓形面積と重心も求めます。
入力
円の弓形を回転軸まわりに回転させてできる立体の体積を、パップス・ギュルダンの定理で求めます。円の半径・中心角・回転軸までの距離を入力してください。
計算結果
体積 V
1,111.894825
弓形の面積 A
15.354621
重心から軸まで Rc
11.525101
重心から中心まで
3.525101
弦の長さ c
8.660254
矢高 h
2.5
パップス・ギュルダンの定理 V = 2π × Rc × A を用いています。Rc は重心が描く円の半径です。
長さの単位は入力値と同じで、面積はその2乗、体積はその3乗の単位になります。
計算方法・使い方
- 弓形の面積 A は A = (1/2) r² (θ − sin θ) で求めます。r は円の半径、θ は中心角（ラジアン）です。
- 弓形の重心の、円の中心からの距離は yBar = (4 r sin³(θ/2)) / (3 (θ − sin θ)) です。
- 回転軸から円の中心までの距離を d とすると、重心から回転軸までの距離は Rc = d + yBar になります（弓形は軸の反対側へ膨らむ配置）。
- パップス・ギュルダンの定理より、回転体の体積は V = 2π × Rc × A です。重心が描く円周の長さに弓形面積を掛けた値になります。
- 弦の長さは c = 2 r sin(θ/2)、矢高（弓形の高さ）は h = r (1 − cos(θ/2)) です。
- 長さの単位は入力値と同じで、面積はその2乗、体積はその3乗の単位になります。回転軸が弓形と交わらない配置を前提とします。
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