特異値分解（SVD）計算機
行列を入力すると特異値分解 A=UΣVᵀ の特異値・ランク・条件数を計算。小さな行列なら左特異ベクトル U・右特異ベクトル V も表示します。
入力
1行＝行列の1行、要素はスペースまたはカンマ区切りで入力してください。
計算結果
最大特異値 σ₁
3
サイズ（行×列）
3 × 3
数値的ランク
3
条件数
3
特異値（降順）
| σ1 | 3 |
| σ2 | 2 |
| σ3 | 1 |
左特異ベクトル U
各列が左特異ベクトル uₖ（U[:,k]=A·vₖ/σₖ）です。
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
右特異ベクトル V
各列が右特異ベクトル vₖ（AᵀA の固有ベクトル）です。
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
計算方法・使い方
- 特異値分解（SVD）は任意の m×n 行列 A を A=UΣVᵀ の形に分解します。U は m×m の直交行列、V は n×n の直交行列、Σ は対角に非負の特異値 σ₁≧σ₂≧…≧0 を並べた m×n 行列です。
- この計算機は対称行列 AᵀA の固有値分解を巡回ヤコビ回転法で求め、その固有値の平方根を特異値、固有ベクトルを右特異ベクトル V とします。左特異ベクトルは U[:,k]=A·vₖ/σₖ で復元しています。
- 数値的ランクは、しきい値 max(m,n)·εmach·σmax を超える特異値の個数として数えます。これより小さい特異値は数値誤差としてゼロ扱いです。
- 条件数は σmax/σmin（最小の非ゼロ特異値）で定義します。ランク落ちの行列では σmin が 0 とみなされ、条件数は無限大（∞）になります。
- 本ツールの結果は反復法による近似計算であり、厳密な代数解ではありません。回転・桁落ちにより末尾の桁に誤差が出る場合があります。
- U・V の表示は行数・列数がともに 8 以下の小さな行列に限定しています。大きな行列では特異値・ランク・条件数のみを表示します。
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