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Tanh-Sinh求積（DE変換）数値積分電卓

f(x)と区間[a,b]を入力すると、Tanh-Sinh（二重指数変換）求積で定積分を高精度に計算。端点特異性に強い数値積分ツール。

入力

被積分関数 f(x) と積分区間 [a, b]、レベルを入力すると、Tanh-Sinh（二重指数変換）求積で定積分を計算します。

例: exp(-x^2)、sin(x)、1/sqrt(x)。変数は x、定数は pi・e、関数は sin/cos/exp/log/sqrt など。暗黙の乗算（2x）も可。

レベルを上げるほど分点が増え精度が上がります。通常は8前後で十分です。

計算結果

積分値

0.7468241328

使用分点数

127

到達レベル

6

推定誤差

1.11e-16

計算方法・使い方

  • Tanh-Sinh求積（二重指数変換, DE変換）は、変数変換 x=(a+b)/2+(b-a)/2·tanh(π/2·sinh(t)) を用いて有限区間[a,b]の定積分∫f(x)dx を計算する数値積分法です。
  • 変換後の被積分関数は t→±∞ で二重指数的に急減衰するため、台形則を等間隔の刻み幅 h で適用するだけで非常に高い精度が得られます。dx/dt=（b-a)/2·(π/2)·cosh(t)/cosh(π/2·sinh(t))^2 を重みとして畳み込みます。
  • レベルを1つ上げるごとに刻み幅 h を半分にし、既存の分点を再利用して新しい奇数番目の分点だけを追加します。これにより評価回数を抑えつつ段階的に精度を高めます。
  • 端点（x=a, x=b）への変換像は t が有限でも端点に漸近するため重みが急速に0へ向かいます。そのため 1/√x や log(x) のような端点で発散する被積分関数でも、特異点での評価を実質的に回避でき安定して計算できます。
  • 推定誤差は、直前のレベルの近似値との差の絶対値として表示しています。実際の誤差はこれより小さいことが多く、収束の目安として参照してください。
  • 数式は内製の再帰下降パーサで解析します。+ - * / ^、丸括弧、単項マイナス、暗黙の乗算（例: 2x, x sin(x)）、変数 x、定数 pi・e、関数 sin cos tan asin acos atan sinh cosh tanh exp log(=ln) ln log10 sqrt cbrt abs に対応します。
  • 区間幅が極端に大きい場合や、区間内部に特異点・振動が集中する関数では、変数変換の前提が崩れて精度が落ちることがあります。本ツールは概算・学習用途を想定しています。

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