ガウス・ロバット求積（数値積分）計算
被積分関数 f(x)、区間 [a, b]、次数 n を入力すると、端点を含むガウス・ロバット求積で定積分を計算します。
入力
被積分関数 f(x)、積分区間 [a, b]、次数 n を入力すると、端点を含むガウス・ロバット求積で定積分を計算します。
例: exp(-x^2)、sin(x)/x、x^2 + 1。使える関数・定数・演算子は計算方法を参照。
分点数（2〜256）
計算結果
積分値 ∫ f(x) dx
0.7468241328
区間 [0, 1]
次数 n
8
分点数
8
ガウス・ロバット求積は区間の両端点 a と b を分点に含みます。
分点・重み・関数値
区間 [a, b] に変換済みの分点 x_i、重み w_i、関数値 f(x_i) を示します。両端が端点です。
| # | 種別 | 分点 x_i | 重み w_i | f(x_i) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 端点 | 0 | 0.01785714 | 1 |
| 2 | 内部 | 0.06412993 | 0.10535211 | 0.9958958 |
| 3 | 内部 | 0.20414991 | 0.17056135 | 0.95917937 |
| 4 | 内部 | 0.39535039 | 0.2062294 | 0.85530091 |
| 5 | 内部 | 0.60464961 | 0.2062294 | 0.69377946 |
| 6 | 内部 | 0.79585009 | 0.17056135 | 0.53079608 |
| 7 | 内部 | 0.93587007 | 0.10535211 | 0.41650667 |
| 8 | 端点 | 1 | 0.01785714 | 0.36787944 |
計算方法・使い方
- ガウス・ロバット求積は区間の両端点 a と b を必ず分点に含めて定積分 ∫ f(x) dx を近似する方法です。端点での関数値を使えるため、区間端の挙動を反映しやすいのが特長です。
- 標準区間 −1 から 1 に変換して計算します。両端 ±1 を分点に固定し、内部の分点はルジャンドル多項式 P(n-1) の導関数 P(n-1)´ の零点として求めます。
- 重みは公式 w ＝ 2 ÷ (n × (n-1) × P(n-1)(x)²) で求めます。端点では P(n-1)(±1) ＝ ±1 なので w ＝ 2 ÷ (n × (n-1)) です。
- 次数 n の分点数は n 個（端点 2 個＋内部 n-2 個）で、多項式の次数 2n-3 まで厳密に積分できます。
- 本ツールは標準区間の分点・重みを区間 a から b へ線形変換し、各分点での関数値と重みの総和で積分値を求めます。分点・重み・関数値も表で確認できます。
- 次数 n は 2 以上 256 以下の整数で入力してください。a と b には有限で互いに異なる値を指定してください。
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