ガウス・ルジャンドル分点・重み計算
次数nを入力すると、ガウス・ルジャンドル求積の分点x_iと重みw_i（標準区間[-1,1]）を計算して一覧表示します。
入力
次数 n を入力すると、ガウス・ルジャンドル求積の分点 x_i と重み w_i（標準区間 [-1, 1]）を計算します。
分点数（1〜256）
計算結果
次数 n
5
標準区間 [-1, 1] における分点・重み
分点数
5
重みの総和
2
区間
[-1, 1]
分点・重み
標準区間 [-1, 1] の分点 x_i（ルジャンドル多項式の零点）と重み w_i を示します。
| # | 分点 x_i | 重み w_i |
|---|---|---|
| 1 | -0.5384693101 | 0.4786286705 |
| 2 | -0.9061798459 | 0.2369268851 |
| 3 | 0 | 0.5688888889 |
| 4 | 0.9061798459 | 0.2369268851 |
| 5 | 0.5384693101 | 0.4786286705 |
計算方法・使い方
- 次数 n のルジャンドル多項式 P_n(x) の零点を分点 x_i とし、標準区間 [-1, 1] 上で計算します。
- 零点は漸近近似 cos(π(i+3/4)/(n+1/2)) を初期値とするニュートン法で求めます。導関数は P_n'(x)=n(xP_n(x)−P_{n-1}(x))/(x²−1) を使います。
- 重みは w_i = 2 / ((1 − x_i²) (P_n'(x_i))²) で計算します。分点は P_n の偶奇対称性を利用して構成されます。
- 重みの総和は理論上 2（区間 [-1, 1] の長さ）に一致し、計算精度の目安になります。
- 任意区間 [a, b] へは x = (b−a)/2·t + (a+b)/2、重み (b−a)/2·w_i と線形変換して利用できます。
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