ガウス-ラゲール求積 分点・重み計算
次数 n を入力すると、ガウス-ラゲール求積の分点（ラゲール多項式 L_n の零点）と重みを表で算出します。半無限区間 ∫₀^∞ e^(-x) f(x) dx の数値積分に使えます。
入力
次数 n を入力すると、ガウス-ラゲール求積の分点（ラゲール多項式 Lₙ の零点）と重みを計算します。重み関数 e^(-x) を持つ ∫₀^∞ e^(-x) f(x) dx の数値積分に使えます。
1〜128 の整数。分点の数になります。
計算結果
次数 n
8
分点数: 8
重みの総和
1
最小分点
0.1702796323
最大分点
22.8631317369
分点と重みの一覧
分点 xᵢ はラゲール多項式 Lₙ(x) の零点、重みは wᵢ = xᵢ / ((n+1)²(L_n+1(xᵢ))²)。「重み×e^x」列は wᵢ·e^(xᵢ) です。
| i | 分点 xᵢ | 重み wᵢ | 重み×e^x |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.1702796323 | 0.3691885893 | 0.4377234105 |
| 2 | 0.9037017768 | 0.4187867808 | 1.0338693477 |
| 3 | 2.2510866299 | 0.1757949866 | 1.6697097657 |
| 4 | 4.2667001703 | 0.0333434923 | 2.3769247018 |
| 5 | 7.0459054024 | 0.0027945362 | 3.2085409133 |
| 6 | 10.7585160102 | 9.07650877e-5 | 4.2685755108 |
| 7 | 15.7406786413 | 8.48574672e-7 | 5.8180833687 |
| 8 | 22.8631317369 | 1.04800117e-9 | 8.9062262153 |
計算方法・使い方
- ガウス-ラゲール求積は重み関数 e^(-x) を持つ半無限区間 [0, ∞) の積分 ∫₀^∞ e^(-x) f(x) dx ≈ Σ wᵢ f(xᵢ) を近似します。
- 分点 xᵢ は次数 n のラゲール多項式 Lₙ(x) の零点で、本ツールは三項漸化式で多項式を評価し、ニュートン法（既知の零点をデフレーション）で各零点を求めます。
- 重みは標準公式 wᵢ = xᵢ / ((n+1)² (L_{n+1}(xᵢ))²) で計算します。重みの総和は理論上 1 になります。
- 表の「重み×e^x」列は wᵢ·e^(xᵢ) で、被積分関数に重み e^(-x) を含めない形 ∫₀^∞ g(x) dx で扱うときの実効重みです。
- この公式は被積分関数 f(x) が高々 2n−1 次の多項式のとき厳密です。指数的に減衰する関数の積分に特に有効です。
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