ガウス・ヤコビ求積の分点・重み計算
次数nとパラメータα・βから、重み関数(1-x)^α(1+x)^βに対するガウス・ヤコビ求積の分点と重みを計算して表で表示します。
入力
次数 n と重みパラメータ α・β を入力すると、重み関数 (1-x)^α (1+x)^β に対するガウス・ヤコビ求積の分点と重みを計算します。
1 以上 128 以下の整数（＝分点の個数）
重み (1-x)^α の指数。α は マイナス1 より大きい値
重み (1+x)^β の指数。β は マイナス1 より大きい値
計算結果
次数 n
5
重み関数 (1-x)^α (1+x)^β（α＝0、β＝0）
分点の個数
5
重みの総和 μ0
2
重み関数
(1-x)^α (1+x)^β
分点と重みの一覧
分点 x_i は区間 [-1, 1] 内の昇順、重み w_i は対応する求積重みです。
| 番号 i | 分点 x_i | 重み w_i |
|---|---|---|
| 1 | -0.9061798459 | 0.2369268851 |
| 2 | -0.5384693101 | 0.4786286705 |
| 3 | -2.2967128660e-17 | 0.5688888889 |
| 4 | 0.5384693101 | 0.4786286705 |
| 5 | 0.9061798459 | 0.2369268851 |
計算方法・使い方
- 重み関数 (1-x)^α (1+x)^β の区間 [-1, 1] における次数 n のガウス・ヤコビ求積の分点と重みを求めます。
- 分点と重みは Golub-Welsch 法で計算します。ヤコビ多項式の三項漸化式の係数から対称三重対角行列を作り、その固有値が分点、固有ベクトル第1成分の二乗に0次モーメントを掛けたものが重みです。
- 固有値分解は対称三重対角行列向けの暗黙シフト付き QL 反復で行います。
- 0次モーメント μ0 ＝重みの総和は 2^(α+β+1)・Γ(α+1)Γ(β+1)/Γ(α+β+2) で、重みの和と一致します。
- α・βはともに マイナス1 より大きい必要があります（重みが可積分になる条件）。α＝β＝0 のときはガウス・ルジャンドル求積に一致します。
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