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ガウス・ヤコビ求積計算ツール

被積分関数 f(x)、次数 n、重みの指数 α・β を入力すると、ガウス・ヤコビ求積で ∫₋₁¹ f(x)(1−x)^α(1+x)^β dx を計算します。分点・重みは Golub-Welsch 法（三重対角行列の固有値分解）で求めます。

入力

被積分関数 f(x)、次数 n、重みの指数 α・β を入力すると、ガウス・ヤコビ求積で ∫₋₁¹ f(x)(1−x)^α(1+x)^β dx を計算します。

例: cos(x)、1/(2-x)、x^2 + 1。使える関数・定数・演算子は計算方法を参照。重み (1−x)^α(1+x)^β は自動で掛かります。

分点数（1〜256）

重み (1−x)^α の指数（α ＞ −1）

重み (1+x)^β の指数（β ＞ −1）

計算結果

積分値 ∫ f(x)(1−x)^α(1+x)^β dx

1.3824596874

重み (1−x)^(α=0.5) (1+x)^(β=0.5)、区間 [−1, 1]

次数 n

8

分点数

8

0 次モーメント μ₀

1.57079633

分点・重み・関数値

区間 [−1, 1] の分点 x_i、求積重み w_i、関数値 f(x_i) を示します（重みには (1−x)^α(1+x)^β を含みます）。

#分点 x_i重み w_if(x_i)
1-0.939692620.040832950.59003622
2-0.766044440.14422560.72065865
3-0.50.261799390.87758256
4-0.173648180.338540230.984961
50.173648180.338540230.984961
60.50.261799390.87758256
70.766044440.14422560.72065865
80.939692620.040832950.59003622

計算方法・使い方

  • ガウス・ヤコビ求積は、重み関数 w(x)=(1−x)^α(1+x)^β を持つ区間 [−1, 1] 上の定積分 ∫₋₁¹ f(x)(1−x)^α(1+x)^β dx を、n 個の分点 x_i と重み w_i を用いて Σ w_i f(x_i) で近似します。可積分条件は α > −1 かつ β > −1 です。
  • 分点 x_i はヤコビ多項式 P_n^{(α,β)}(x) の零点、重み w_i は対応する求積重みです。本ツールでは、ヤコビ多項式の三項漸化式の係数から対称三重対角行列（ヤコビ行列）を構成し、その固有値（＝分点）と固有ベクトルの第 1 成分から重みを得る Golub-Welsch 法で計算します。固有分解は暗黙シフト付き QL 反復で行います。
  • n 点公式は 2n−1 次以下の多項式 f(x) に対して厳密です。被積分関数に α・β による重みの特異性（端点での発散）が含まれる積分では、通常の等間隔公式より高精度に評価できます。
  • α=β=0 のときはガウス・ルジャンドル求積、α=β=−1/2 のとき第一種チェビシェフ、α=β=1/2 のとき第二種チェビシェフの求積に一致します。
  • 被積分関数 f(x) は再帰下降パーサで安全に評価します（eval 不使用）。sin・cos・tan・exp・log・ln・sqrt・abs などの関数、定数 pi・e、四則演算・べき乗 ^、暗黙の乗算（例: 2x、3(x+1)）が使えます。変数は x のみです。

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