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ガウス求積 分点・重み計算（数値積分）

ガウス求積法（ルジャンドル・チェビシェフ・ラゲール・エルミート）の分点と重みを次数を指定して計算。任意の関数 f(x) の定積分もガウス・ルジャンドルで数値近似します。

入力

ガウス求積法と次数を選ぶと、分点（ノード）x_i と重み w_i を計算します。

求積法

区間 [-1, 1]、重み w(x) = 1

1 以上 64 以下の整数

任意の関数の定積分を、選んだ次数のガウス・ルジャンドルで近似計算します（任意）。

例: exp(-x^2)、sin(x)、x^2 + 1。変数は x。pi, e と sin, cos, exp, log, sqrt などが使えます。

計算結果

選択中の求積法

ガウス・ルジャンドル

5 点公式

分点の数 n

5

積分区間

[-1, 1]

重み関数

1

分点と重みの一覧

i分点 x_i重み w_i
1-0.90617984590.2369268851
2-0.53846931010.4786286705
300.5688888889
40.53846931010.4786286705
50.90617984590.2369268851

定積分の近似値

∫ f(x) dx（区間 [-1, 1]、ガウス・ルジャンドル）

1.4936639207

選んだ次数 n のガウス・ルジャンドル公式による近似値です。

計算方法・使い方

  • ガウス求積法は、区間上の積分を分点 x_i における関数値の重み付き和 Σ w_i f(x_i) で近似する数値積分の手法です。n 点公式は 2n-1 次までの多項式を厳密に積分できます。
  • 分点 x_i は、各重み関数に対応する直交多項式の零点として定まります。本ツールはルジャンドル・ラゲール・エルミートの零点を漸化式とニュートン法で求め、チェビシェフは閉じた式で求めています。
  • ガウス・ルジャンドルは区間 [-1, 1]・重み 1、第1種チェビシェフは重み 1/√(1-x²)、第2種チェビシェフは重み √(1-x²)、ラゲールは [0, ∞)・重み e^(-x)、エルミートは (-∞, ∞)・重み e^(-x²) に対応します。
  • 重みは直交多項式の零点における導関数値から計算します。妥当性の目安として、各公式の重みの総和はそれぞれ 2、π、π/2、1、√π に一致します。
  • 関数の定積分は、選んだ公式に依らず一律にガウス・ルジャンドルで近似します。区間 [a, b] へは線形変換 x = (b-a)/2·t + (a+b)/2 で写して評価します。
  • 被積分関数は eval を使わず独自の再帰下降パーサで解釈します。+ - * / ^、丸括弧、単項マイナス、暗黙の乗算、変数 x、定数 pi・e、関数 sin cos tan asin acos atan sinh cosh tanh exp log ln log10 sqrt cbrt abs に対応します。
  • 計算はすべて倍精度浮動小数点で行うため、ごく僅かな丸め誤差を含みます。表示は小数 10 桁までに丸めています。

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