ガウス・エルミート求積の分点・重み計算
次数 n を入力すると、ガウス・エルミート求積（重み関数 e^(-x²)）の分点（エルミート多項式 Hₙ の零点）と重みを表で一覧表示します。
入力
次数 n を入力すると、ガウス・エルミート求積（重み関数 e^(-x²)）の分点と重みを計算します。被積分関数に e^(-x²) を含めない形 ∫ f(x) e^(-x²) dx ≈ Σ wᵢ f(xᵢ) で使います。
1〜128 の整数。分点の個数と一致します。
計算結果
次数 n
5
エルミート多項式 Hₙ の零点を分点とします
分点の数
5
重みの総和
1.7724538509
重み関数
e^(-x²)
分点と重みの一覧
分点 xᵢ は昇順。重みの総和は理論値 √π ≈ 1.7724539 に一致します。
| 番号 | 分点 xᵢ | 重み wᵢ |
|---|---|---|
| 1 | -0.9585724646 | 0.3936193232 |
| 2 | -2.0201828705 | 0.0199532421 |
| 3 | 0 | 0.9453087205 |
| 4 | 2.0201828705 | 0.0199532421 |
| 5 | 0.9585724646 | 0.3936193232 |
計算方法・使い方
- ガウス・エルミート求積は、重み関数 e^(-x²) を伴う無限区間の積分 ∫_{-∞}^{∞} f(x) e^(-x²) dx ≈ Σ wᵢ f(xᵢ) を近似する数値積分法です。
- 分点 xᵢ は次数 n の（物理学者の）エルミート多項式 Hₙ(x) の零点で、本ツールではニュートン法で求めています。
- 重み wᵢ は公式 wᵢ = 2^(n-1)·n!·√π / (n²·Hₙ₋₁(xᵢ)²) で計算します。階乗のオーバーフローを避けるため対数領域で計算しています。
- 分点・重みは原点に関して対称になります。重みの総和は理論上 √π ≈ 1.7724539 に一致し、計算精度の確認に使えます。
- 次数 n の公式は 2n−1 次以下の多項式 f(x) を厳密に積分します。
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