ガウス・エルミート求積（数値積分）計算機
被積分関数 f(x) と次数 n を入力すると、ガウス・エルミート求積で ∫[-∞,∞] f(x)e^(-x²)dx を数値計算します。エルミート多項式の零点を分点、標準公式の重みで評価。
入力
被積分関数 f(x) と次数 n を入力すると、ガウス・エルミート求積で ∫[-∞,∞] f(x)e^(-x²)dx を計算します。重み関数 e^(-x²) は公式に含まれるため、f(x) には e^(-x²) を入れないでください。
例: cos(x)、x^2、1/(1+x^2)。重み e^(-x²) は自動で掛かります。使える関数・定数は計算方法を参照。
分点数（1〜128）
計算結果
積分値 ∫ f(x) e^(-x²) dx
1.380388447
区間 (-∞, ∞)・重み関数 e^(-x²)
次数 n
16
分点数
16
分点・重み・関数値
エルミート多項式 H_n の零点 x_i、重み w_i、関数値 f(x_i) を示します。
| # | 分点 x_i | 重み w_i | f(x_i) |
|---|---|---|---|
| 1 | -0.27348105 | 0.50792948 | 0.96283655 |
| 2 | -0.82295145 | 0.28064746 | 0.6800603 |
| 3 | -1.38025854 | 0.08381004 | 0.18938698 |
| 4 | -1.95178799 | 0.01288031 | -0.37184121 |
| 5 | -2.54620216 | 0.00093228 | -0.82792956 |
| 6 | -3.17699916 | 2.711860e-5 | -0.99937326 |
| 7 | -3.8694479 | 2.320981e-7 | -0.74660296 |
| 8 | -4.68873894 | 2.654807e-10 | -0.02364784 |
| 9 | 4.68873894 | 2.654807e-10 | -0.02364784 |
| 10 | 3.8694479 | 2.320981e-7 | -0.74660296 |
| 11 | 3.17699916 | 2.711860e-5 | -0.99937326 |
| 12 | 2.54620216 | 0.00093228 | -0.82792956 |
| 13 | 1.95178799 | 0.01288031 | -0.37184121 |
| 14 | 1.38025854 | 0.08381004 | 0.18938698 |
| 15 | 0.82295145 | 0.28064746 | 0.6800603 |
| 16 | 0.27348105 | 0.50792948 | 0.96283655 |
計算方法・使い方
- ガウス・エルミート求積は、無限区間の重み付き積分 ∫[-∞,∞] f(x)e^(-x²)dx を、Σ w_i f(x_i) の有限和で近似する数値積分公式です。重み関数は e^(-x²) で、これは求積公式に組み込まれているため、入力する f(x) には e^(-x²) を含めません（例: ∫ cos(x)e^(-x²)dx を求めるなら f(x)=cos(x) と入力）。
- 分点 x_i は、次数 n の（物理学者の）エルミート多項式 H_n(x) の n 個の零点です。H_n は漸化式 H_{k+1}(x)=2x H_k(x)-2k H_{k-1}(x)（H_0=1, H_1=2x）で評価し、零点をニュートン法で求めます。H_n は偶関数または奇関数なので、分点は原点に対して対称に分布します。
- 各分点の重みは w_i = 2^(n-1) n! √π / ( n² H_{n-1}(x_i)² ) で計算します。大きな n でも n! のオーバーフローを避けるため、本ツールでは重みを対数領域で評価しています。
- この公式は、被積分関数 f(x) が 2n-1 次以下の多項式であれば理論上厳密に積分します（代数的精度 2n-1）。f(x) が滑らかで指数オーダーの増大に収まる関数なら、次数 n を上げるほど近似精度が向上します。
- f(x) はべき乗 ^、四則演算、関数 sin・cos・tan・asin・acos・atan・sinh・cosh・tanh・exp・log(=ln)・log10・sqrt・cbrt・abs、定数 pi・e に対応します。変数は x のみ使用できます。式の評価は eval を用いず独自の再帰下降パーサで行います。
- 次数 n は 1〜128 の整数で指定します。確率論で用いる規格化版（重み e^(-x²/2)）とは重み関数が異なる点に注意してください。
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