ガウス・ラゲール求積計算
被積分関数 f(x) と次数 n を入力すると、ガウス・ラゲール求積で半無限積分 ∫₀^∞ f(x)e^(−x)dx を数値計算します。
入力
被積分関数 f(x) と次数 n を入力すると、ガウス・ラゲール求積で半無限積分 ∫₀^∞ f(x)e^(−x)dx を計算します。重み関数 e^(−x) は内包されるので f(x) には含めないでください。
例: x^2、sin(x)、1/(1+x)。e^(−x) は含めません。使える関数・定数・演算子は計算方法を参照。
分点数（1〜128）
計算結果
積分値 ∫₀^∞ f(x)e^(−x)dx
2
区間 [0, ∞)・重み関数 e^(−x)
次数 n
8
分点数
8
分点・重み・関数値
ラゲール多項式の零点 x_i、重み w_i、関数値 f(x_i)、寄与 w_i·f(x_i) を示します。
| # | 分点 x_i | 重み w_i | f(x_i) | w_i·f(x_i) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.17027963 | 0.36918859 | 0.02899515 | 0.01070468 |
| 2 | 0.90370178 | 0.41878678 | 0.8166769 | 0.34201349 |
| 3 | 2.25108663 | 0.17579499 | 5.06739102 | 0.89082194 |
| 4 | 4.26670017 | 0.03334349 | 18.20473034 | 0.60700929 |
| 5 | 7.0459054 | 0.00279454 | 49.64478294 | 0.13873414 |
| 6 | 10.75851601 | 9.076509e-5 | 115.74566674 | 0.01050567 |
| 7 | 15.74067864 | 8.485747e-7 | 247.76896409 | 0.00021025 |
| 8 | 22.86313174 | 1.048001e-9 | 522.72279282 | 5.478141e-7 |
計算方法・使い方
- ガウス・ラゲール求積は、重み関数 e^(−x) を含む半無限区間の積分 ∫₀^∞ f(x)e^(−x)dx を、∑ᵢ wᵢ f(xᵢ) の形で近似する数値積分法です。重み関数 e^(−x) は公式に内包されているため、入力する f(x) には e^(−x) を含めないでください（例: ∫₀^∞ x²e^(−x)dx を求めたいときは f(x) に x^2 を入力します）。
- 分点 xᵢ は n 次ラゲール多項式 Lₙ(x) の零点で、本ツールでは漸化式 (k+1)L_{k+1}(x) = (2k+1−x)Lₖ(x) − kL_{k−1}(x) で多項式を評価し、ニュートン法で零点を求めています。
- 重みは公式 wᵢ = xᵢ / ((n+1)² L_{n+1}(xᵢ)²) で計算します。重みの総和は ∫₀^∞ e^(−x)dx = 1 に一致します。
- 次数 n の公式は、被積分関数 f(x) が 2n−1 次以下の多項式のとき理論上厳密になります（例: f(x)=x^k は ∫₀^∞ x^k e^(−x)dx = k! と一致）。
- 被積分関数は安全のため eval を使わず独自の数式パーサで評価します。変数は x のみ。sin・cos・tan・exp・log・ln・sqrt・abs などの関数と、定数 pi・e、四則演算・累乗 ^ が使えます。
- f(x) の増加が速すぎると（重み e^(−x) の減衰より速い場合）積分が発散し、求積も収束しません。結果は近似値であり、被積分関数の性質と次数 n に応じて精度が変わります。
関連する計算ツール
ガウス求積法（数値積分）計算
数値解析ルジャンドル・チェビシェフ・ラゲール・エルミートのガウス求積法で定積分を高精度に数値計算。f(x)・次数を入力すると積分値と分点・重みを表示します。
計算する →ガウス-ラゲール求積 分点・重み計算
数値解析次数 n を入力すると、ガウス-ラゲール求積の分点（ラゲール多項式 L_n の零点）と重みを表で算出します。半無限区間 ∫₀^∞ e^(-x) f(x) dx の数値積分に使えます。
計算する →ガウス・ヤコビ求積計算ツール
数値解析被積分関数 f(x)、次数 n、重みの指数 α・β を入力すると、ガウス・ヤコビ求積で ∫₋₁¹ f(x)(1−x)^α(1+x)^β dx を計算します。分点・重みは Golub-Welsch 法（三重対角行列の固有値分解）で求めます。
計算する →ガウス・エルミート求積（数値積分）計算機
数値解析被積分関数 f(x) と次数 n を入力すると、ガウス・エルミート求積で ∫[-∞,∞] f(x)e^(-x²)dx を数値計算します。エルミート多項式の零点を分点、標準公式の重みで評価。
計算する →
お客様の声
このツールを使った感想をお聞かせください。
レビューを投稿する
- ホーム
ガウス・ラゲール求積計算