ガウス求積法（数値積分）計算
ルジャンドル・チェビシェフ・ラゲール・エルミートのガウス求積法で定積分を高精度に数値計算。f(x)・次数を入力すると積分値と分点・重みを表示します。
入力
被積分関数 f(x)・求積法・次数を入力すると、ガウス求積法で定積分を数値計算します。
例: exp(-x^2)、sin(x)/x、2x+1。関数 sin cos tan exp log ln sqrt abs など、定数 pi e、暗黙の乗算に対応。
求積法
ガウス・ルジャンドル（区間 [a, b]）
∫ₐᵇ f(x) dx を計算します（重み関数 w(x)=1）。
1〜64 の整数。値が大きいほど高精度になります。
計算結果
積分値（近似）
0.7468241268
求積法
ガウス・ルジャンドル（区間 [a, b]）
次数 n
5
分点と重み
| i | 分点 xᵢ | 重み wᵢ |
|---|---|---|
| 1 | 0.046910077 | 0.2369268851 |
| 2 | 0.2307653449 | 0.4786286705 |
| 3 | 0.5 | 0.5688888889 |
| 4 | 0.7692346551 | 0.4786286705 |
| 5 | 0.953089923 | 0.2369268851 |
計算方法・使い方
- ガウス求積法は、被積分関数を n 次の直交多項式の零点（分点）で評価し、対応する重みを掛けて総和を取ることで積分を近似する手法です。n 点の公式は 2n-1 次までの多項式を厳密に積分できます。
- ルジャンドル型は重み関数 w(x)=1 で、任意の区間 [a,b] を [-1,1] に線形変換して ∫ f(x) dx を計算します。
- チェビシェフ型は重み関数 w(x)=1/√(1-x²)、区間 [-1,1] で、∫ f(x)/√(1-x²) dx を計算します（分点・重みは閉じた式で求まります）。
- ラゲール型は重み関数 w(x)=e^(-x)、区間 [0,∞) で ∫ e^(-x) f(x) dx を、エルミート型は重み関数 w(x)=e^(-x²)、区間 (-∞,∞) で ∫ e^(-x²) f(x) dx を計算します。
- 分点と重みは三項漸化式の係数から作る三重対角行列の固有値・固有ベクトルとして求めています（独立実装）。f(x) は内蔵の数式パーサで解釈し、sin・cos・exp・log・sqrt などの関数と π・e、暗黙の乗算（例 2x）に対応します。
- 数値計算による近似値です。被積分関数の性質や次数により誤差が生じる場合があります。
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