第2種ガウス-チェビシェフ求積 分点・重み計算
次数nを入力すると、第2種ガウス-チェビシェフ求積の分点 x_i=cos(iπ/(n+1)) と重み w_i=π/(n+1)·sin²(iπ/(n+1)) を表で表示します。
入力
第2種ガウス-チェビシェフ求積（重み関数 √(1−x²)）の分点と重みを次数 n から計算します。
1 以上 256 以下の整数。分点の個数になります。
計算結果
次数 n
8
xᵢ = cos(iπ/(n+1)), wᵢ = π/(n+1)·sin²(iπ/(n+1))
分点数
8
重みの総和
1.5707963268
理論値 (π/2)
1.5707963268
分点と重みの一覧
分点 x は昇順に並べています。角度 θ = iπ/(n+1) はラジアンです。
| 番号 | 分点 xᵢ | 重み wᵢ | 角度 θᵢ |
|---|---|---|---|
| 1 | -0.9396926208 | 0.0408329477 | 2.7925268032 |
| 2 | -0.7660444431 | 0.1442256008 | 2.4434609528 |
| 3 | -0.5 | 0.2617993878 | 2.0943951024 |
| 4 | -0.1736481777 | 0.3385402271 | 1.745329252 |
| 5 | 0.1736481777 | 0.3385402271 | 1.3962634016 |
| 6 | 0.5 | 0.2617993878 | 1.0471975512 |
| 7 | 0.7660444431 | 0.1442256008 | 0.6981317008 |
| 8 | 0.9396926208 | 0.0408329477 | 0.3490658504 |
計算方法・使い方
- 第2種ガウス-チェビシェフ求積は重み関数 w(x)=√(1−x²) を持つ区間[−1,1]上の求積公式で、∫₋₁¹√(1−x²)f(x)dx ≈ Σ wᵢ f(xᵢ) を与えます。
- 分点は第2種チェビシェフ多項式 Uₙ(x) の零点で、閉形式 xᵢ=cos(iπ/(n+1))（i=1,…,n）で与えられます。
- 重みは wᵢ=π/(n+1)·sin²(iπ/(n+1)) で、すべて正の値です。
- 重みの総和は理論的に π/2 に一致します。
- 分点・重みは反復計算を要さず定義式から直接求まるため、本ツールは閉形式で計算しています。
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