第2種ガウス・チェビシェフ求積計算機
被積分関数 f(x) と次数 n を入力して、重み √(1−x²) 付きの定積分 ∫[-1,1] f(x)√(1−x²)dx を第2種ガウス・チェビシェフ求積で計算します。分点・重みも表示。
入力
被積分関数 f(x) と次数 n を入力すると、第2種ガウス・チェビシェフ求積で重み付き定積分 ∫_-1^1 f(x)√(1−x²)dx を計算します。
例: exp(x)、1/(2-x)、x^2 + 1。重み √(1−x²) は含めずに入力してください。使える関数・定数・演算子は計算方法を参照。
分点数（1〜256）
計算結果
積分値 ∫ f(x)√(1−x²) dx
1.7754996892
区間 [-1, 1]、重み √(1−x²)
次数 n
8
分点数
8
分点・重み・関数値
分点 x_i、重み w_i、関数値 f(x_i) を示します。
| # | 分点 x_i | 重み w_i | f(x_i) |
|---|---|---|---|
| 1 | -0.93969262 | 0.04083295 | 0.39074792 |
| 2 | -0.76604444 | 0.1442256 | 0.46484817 |
| 3 | -0.5 | 0.26179939 | 0.60653066 |
| 4 | -0.17364818 | 0.33854023 | 0.84059258 |
| 5 | 0.17364818 | 0.33854023 | 1.18963695 |
| 6 | 0.5 | 0.26179939 | 1.64872127 |
| 7 | 0.76604444 | 0.1442256 | 2.15124005 |
| 8 | 0.93969262 | 0.04083295 | 2.55919465 |
計算方法・使い方
- 第2種ガウス・チェビシェフ求積は、重み関数 √(1−x²) を持つ区間 [-1, 1] 上の定積分 ∫_{-1}^{1} f(x)√(1−x²)dx を近似します。
- 次数 n のとき、分点（第2種チェビシェフ多項式 U_n の零点）は x_i = cos(iπ/(n+1))（i = 1, …, n）で与えられます。
- 重みは w_i = π/(n+1)·sin²(iπ/(n+1)) です。すべての重みは正で、合計は π/2 になります。
- 積分の近似値は Σ_i w_i · f(x_i) で求めます。被積分関数 f(x) はパーサで評価し、eval は使いません。
- この求積公式は 2n−1 次以下の多項式 P(x) に対して ∫_{-1}^{1} P(x)√(1−x²)dx を厳密に再現します。
- √(1−x²) のように端点で減衰する重みを含む積分を扱う場合に有効です。f(x) には重み √(1−x²) を含めない素の関数を入力してください。
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