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クーポンコレクター問題 計算（全種類コンプ期待回数）

n種類のカードやガチャを全部そろえるのに必要な購入回数の期待値を、調和数で計算します。

入力

全種類をそろえるのに必要な購入回数の期待値を計算します。種類数を入れてください。

種類

計算結果

全種類そろえる期待回数

29回

標準偏差の目安

11 回

中央値の目安

30 回

調和数 H_n

2.93

計算の手順

1

種類数は n = 10 です。毎回ランダムに1種類が手に入るとします。

2

調和数 H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n を求めると、H_10 はおよそ 2.93 です。

3

期待回数は n × H_n = 10 × 2.93 で、約 29 回になります。

計算方法・使い方

  • クーポンコレクター問題とは、毎回ランダムに1種類が手に入るとき、n種類すべてをそろえるのに必要な回数を考える問題です。
  • 各種類が等確率のとき、全種類そろえる期待購入回数は n×H_n で求まります。H_n は調和数（1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n）です。
  • たとえば10種類なら H_10 はおよそ 2.93 なので、期待回数は約 29 回です。種類が増えるほど最後の数種類がそろいにくく、回数は急増します。
  • 標準偏差はばらつきの目安で、Var = n^2×Σ(1/k^2) − n×H_n から求めます。中央値の目安は n×(ln n + ln 2) の近似式を表示します。
  • ガチャやカード収集では、期待回数はあくまで平均であり、実際には期待回数より少なく済むことも、大きく上回ることもあります。標準偏差を見て幅を意識してください。
  • 景品の出現確率が等しくない場合は不均等確率モードを使います。重みを入力すると合計が1になるよう正規化し、数値積分で期待回数を近似します。
  • レアが1種類だけ極端に出にくい場合、期待回数はそのレアを引くまでの時間にほぼ支配されます。コンプ難易度の見積もりに役立ちます。

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