ディリクレのイータ関数 η(x) 計算機
交代ゼータ級数 η(x)=Σ(-1)^(n-1)/n^x を計算。ゼータ関数 ζ(x) との関係 η(x)=(1-2^(1-x))ζ(x) や η(1)=ln2 も表示します。
入力
実数 x を入力すると、交代ゼータ級数であるディリクレのイータ関数 η(x)=Σ(-1)^(n-1)/n^x を計算します。x は 0 以下や負の値も指定できます。
任意の実数。例: 2, 0.5, -1
計算結果
η(2)
0.8224670334
η(x)=Σ(-1)^(n-1)/n^x（収束加速法で算出）
ζ(2)（ゼータ関数）
1.6449340668
係数 1 − 2^(1−x)
0.5
η(x) のグラフ
区間 x = -4 〜 8。オレンジの点が入力値です。
部分和（素朴な交代級数）
各項 (-1)^(n-1)/n^x と、その累積和です。素朴な級数は収束が遅いため参考値です。
| n | 第 n 項 | 部分和 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | -0.25 | 0.75 |
| 3 | 0.11111111 | 0.86111111 |
| 4 | -0.0625 | 0.79861111 |
| 5 | 0.04 | 0.83861111 |
| 6 | -0.02777778 | 0.81083333 |
| 7 | 0.02040816 | 0.8312415 |
| 8 | -0.015625 | 0.8156165 |
| 9 | 0.01234568 | 0.82796218 |
| 10 | -0.01 | 0.81796218 |
| 11 | 0.00826446 | 0.82622664 |
| 12 | -0.00694444 | 0.81928219 |
計算方法・使い方
- ディリクレのイータ関数は η(x)=Σ(n=1から∞) (-1)^(n-1)/n^x で定義される交代ゼータ級数です。
- リーマンゼータ関数 ζ(x) とは η(x)=(1-2^(1-x))ζ(x) の関係で結ばれます。
- x=1 では ζ が極を持ちますが η は有限で、η(1)=ln2 (約0.6931) になります。
- 本ツールは収束を加速したアルテネイティング級数アルゴリズムにより、x が 0 以下を含む広い実数範囲で安定して値を求めます。
- 表に示す素朴な部分和 Σ(-1)^(n-1)/n^x は収束が遅いため参考値です。実際の η(x) は加速計算した値を採用しています。
- 代表値: η(2)=π^2/12 (約0.8225)、η(4)=7π^4/720 (約0.9470)、η(0)=1/2。
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