リーマンゼータ関数 ζ(x) 計算

実数 x のリーマンゼータ関数 ζ(x) を計算します。x が 1 より大きい領域は級数とオイラー–マクローリン公式、x が 1 未満は関数等式（反射公式）で評価し、特殊値や極（x=1）の注記とグラフも表示します。

入力

実数の引数 x を入れると、リーマンゼータ関数 ζ(x) の値を計算します。x が 1 を超える領域は級数とオイラー–マクローリン公式、1 未満は反射公式で評価します。

引数 x

任意の実数。x = 1 は極（発散）、負の偶数は ζ(x) = 0 になります。

ζ(2) の値

1.6449340668

ζ(2) = π² ÷ 6（バーゼル問題）

注記

x が 1 より大きいため、収束する級数を直接評価しました。

計算方法

級数＋オイラー–マクローリン

ζ(x) の概形

青い曲線が ζ(x)、赤い破線が極 x = 1、オレンジ点が現在の入力位置です。縦軸は見やすさのため範囲を制限しています。

リーマンゼータ関数とは

ζ(x) は x が 1 を超える領域で 1/1^x + 1/2^x + 1/3^x + … と定義され、関数等式によって全実数（x = 1 を除く）へ解析接続されます。素数分布やゼータ関数の零点と深く結び付く、解析数論の中心的な関数です。

x が 1 より大きい領域では級数 1/1^x + 1/2^x + … の前半項を直接加算し、残りの裾をオイラー–マクローリン公式の補正項（ベルヌーイ数を用いる）で高精度に近似します。
x が 1 未満（負を含む）の領域では関数等式 ζ(x) = 2^x π^(x-1) sin(π x ÷ 2) Γ(1-x) ζ(1-x) を用い、1-x のほうを級数で評価して値を写し戻します。Γ は Lanczos 近似で計算します。
x = 1 はゼータ関数の唯一の極で値が発散します。負の偶数 x = -2, -4, … では ζ(x) = 0（自明零点）になります。
代表的な特殊値: ζ(2) = π² ÷ 6 ≈ 1.6449（バーゼル問題）、ζ(4) = π⁴ ÷ 90、ζ(0) = -1 ÷ 2、ζ(-1) = -1 ÷ 12。
表示値は浮動小数点の範囲で計算した近似で、概ね倍精度に近い精度です。学習・確認用途を想定しています。

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