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ガンマ分布計算ツール

形状パラメータkと尺度パラメータθのガンマ分布について、指定したxの確率密度・累積分布（下側確率）・上側確率・平均・分散をグラフ付きで計算します。

入力

形状パラメータ k、尺度パラメータ θ、評価点 x を入力すると、ガンマ分布の確率密度・累積分布などを計算します。

0 以上の実数。この x における確率を求めます。

正の実数。分布の形を決めます。

正の実数。分布の広がりを決めます。

計算結果

x = 2、k = 2、θ = 1 の下側確率 F(x)

0.59399415

上側確率 1 − F(x)

0.40600585

確率密度 f(x)

0.27067057

平均 kθ

2

分散 kθ²

2

確率密度関数 PDF

累積分布関数 CDF

計算方法・使い方

  • 確率密度は f(x) = x^(k−1) e^(−x/θ) ÷ (Γ(k) θ^k)（x ≥ 0）で計算します。kは形状パラメータ、θは尺度パラメータです。
  • 累積分布（下側確率）は F(x) = P(k, x/θ) で、Pは正則化下側不完全ガンマ関数です。上側確率は 1 − F(x) で求めます。
  • 正則化不完全ガンマ関数は、xが小さい領域では級数展開、大きい領域では連分数（Lentz法）で計算し、lnΓはLanczos近似を用います。
  • 平均は kθ、分散は kθ² です。θ = 1 のとき標準ガンマ分布になり、kが整数のときアーラン分布、k = 1 のとき指数分布、形状 k = 自由度/2・θ = 2 のときカイ2乗分布と一致します。
  • 数値が極端に小さいまたは大きい場合は指数表記で表示します。x・k・θはいずれも正の値（xは0以上）を入力してください。

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