ガンマ関数 Γ(s) 計算（数値積分）

ガンマ関数 Γ(s)＝0 から無限大までの t^(s-1) e^(-t) dt の積分を数値計算。正の実数 s を入力すると Γ(s)・lnΓ(s)・階乗との関係・二重指数変換による直接積分の参照値まで求めます。

入力

正の実数 s を入力すると、ガンマ関数 Γ(s)＝0 から無限大までの t^(s-1) e^(-t) dt の積分を数値計算します。

s（正の実数）

例: 5 なら Γ(5)＝4!＝24。0.5 や 3.5 など小数も入力できます。

Γ(5)

Γ(s)＝0 から無限大までの t^(s-1) e^(-t) dt の積分

lnΓ(s)（自然対数）

3.1780538303

4! ＝ (s-1)!

直接数値積分の参照値

精度チェック

二重指数（tanh-sinh）変換で 2,049 個の分点を使い半無限区間を直接積分しました。ランチョス近似との相対差は 2.960595e-16 です。

s＝5 は整数なので Γ(s)＝4!（階乗）に一致します。

ガンマ関数は Γ(s)＝0 から無限大までの t^(s-1) e^(-t) を t で積分した値として定義される特殊関数です。s ＞ 0 で積分が収束します。
正の整数 n に対して Γ(n)＝(n-1)! が成り立ちます。例えば Γ(5)＝4!＝24、Γ(1)＝0!＝1 です。階乗を実数・複素数へ一般化したものといえます。
本ツールは高精度なランチョス近似で Γ(s) と lnΓ(s) を求めます。lnΓ(s) は値が非常に大きくなる場合のオーバーフローを避けるのに有用です。
参照値として、半無限区間の積分を二重指数（tanh-sinh）変換で有限区間の和に写し、台形則で直接数値積分した結果も併せて表示し、両者の相対差で精度を確認できます。
s が大きすぎると裾が伸びて積分精度が落ちるため、入力できる s の上限を設けています。s が 0 以下の場合はこの積分定義では収束しないため対象外です。

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