ガウス型超幾何関数 2F1 計算ツール
ガウス型超幾何関数 2F1(a,b;c;z) を冪級数で計算します。a・b・c・z を入力すると関数値・収束判定・項数・部分和の推移をすぐに確認できます。
入力
パラメータ a・b・c と変数 z を入力すると、ガウス型超幾何関数 2F1(a,b;c;z) を冪級数で計算します。
0 や負の整数は不可
絶対値が 1 より小さいと収束
計算結果
2F1(a,b;c;z) の値
1.1787360798
a = 0.5, b = 1, c = 1.5, z = 0.4 のとき
収束判定
収束域内
加算項数
33
z の絶対値
0.4
最終項の大きさ
1.101298e-15
部分和の収束の様子
横軸は項番号、縦軸は部分和です。破線は最終的な近似値を表します。
各項と部分和の推移
先頭から最大 12 項までの各項の値と、そこまでの部分和を示します。
| 項番号 k | 項の値 | 部分和 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0.13333333 | 1.13333333 |
| 2 | 0.032 | 1.16533333 |
| 3 | 0.00914286 | 1.17447619 |
| 4 | 0.00284444 | 1.17732063 |
| 5 | 0.00093091 | 1.17825154 |
| 6 | 0.00031508 | 1.17856662 |
| 7 | 0.00010923 | 1.17867585 |
| 8 | 3.855059e-5 | 1.1787144 |
| 9 | 1.379705e-5 | 1.1787282 |
| 10 | 4.993219e-6 | 1.17873319 |
| 11 | 1.823610e-6 | 1.17873501 |
計算方法・使い方
- ガウス型超幾何関数は 2F1(a,b;c;z) = Σ (a)_k (b)_k / ((c)_k k!) z^k で定義されます。(q)_k は昇冪のポッホハマー記号で (q)_0 = 1、(q)_k = q(q+1)…(q+k−1) です。
- 隣り合う項の比 term(k+1)/term(k) = (a+k)(b+k) / ((c+k)(k+1)) z を逐次掛けて部分和を求めます。
- 冪級数は |z| が 1 より小さいときに収束します。|z| が 1 以上では一般に発散するため、域外では参考値として少数項のみを示します。
- c が 0 または負の整数のとき (c)_k が 0 を含むため関数は未定義です。この場合はエラーとして扱います。
- 部分和が許容誤差以下になるか上限項数に達した時点で打ち切るため、結果は近似値です。
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