第1種合流型超幾何関数（クンマー関数）計算ツール
パラメータ a・c と引数 z を入力すると、第1種合流型超幾何関数（クンマー関数）M(a;c;z)=₁F₁(a;c;z) の値を級数展開で計算します。項数と収束の様子も確認できます。
入力
パラメータ a・c と引数 z を入力すると、第1種合流型超幾何関数 M(a;c;z)=₁F₁(a;c;z) を級数で計算します。
分子側パラメータ。任意の実数を指定できます。
分母側パラメータ。0 や負の整数は極のため不可。
関数を評価する点。任意の実数を指定できます。
計算結果
M(a=1; c=2; z=1) の値
1.7182818285
級数は規定の許容誤差内で収束しました。
加算した項数
18
収束判定
収束
最終項の絶対値
1.561921e-16
級数の項と部分和
先頭から数項の各項の値と、そこまでの部分和の推移です。
| 添字 k | 項の値 | 部分和 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0.5 | 1.5 |
| 2 | 0.16666667 | 1.66666667 |
| 3 | 0.04166667 | 1.70833333 |
| 4 | 0.00833333 | 1.71666667 |
| 5 | 0.00138889 | 1.71805556 |
| 6 | 0.00019841 | 1.71825397 |
| 7 | 2.480159e-5 | 1.71827877 |
| 8 | 2.755732e-6 | 1.71828153 |
| 9 | 2.755732e-7 | 1.7182818 |
| 10 | 2.505211e-8 | 1.71828183 |
| 11 | 2.087676e-9 | 1.71828183 |
計算方法・使い方
- 第1種合流型超幾何関数（クンマー関数）は M(a;c;z)=₁F₁(a;c;z)=Σ (a)_k/((c)_k k!) z^k で定義されます。ここで (q)_k はポッホハマー記号（上昇階乗）で (q)_0=1、(q)_k=q(q+1)…(q+k−1) です。
- 本ツールは隣り合う項の比 term_(k+1)=term_k×(a+k)/((c+k)(k+1))×z を使って項を逐次積み上げ、部分和を求めます。
- 級数は全ての複素数 z に対して収束しますが（収束半径は無限大）、|z| が大きい場合や a が大きい場合は途中の項が非常に大きくなり、桁落ちで精度が落ちることがあります。
- c が 0 または負の整数のとき (c)_k が途中でゼロになり関数は定義されません（極）。この場合は計算できない旨を表示します。
- 項の絶対値が部分和に対して十分小さくなった時点で収束とみなして打ち切ります。規定の項数まで収束しない場合は近似値であり、表示の収束判定をご確認ください。
- a と c が等しいとき M(a;a;z)=exp(z) となるなど、特別な場合は既知の閉じた式と一致します。検算にご利用ください。
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