双曲線弓形の面積計算
双曲線 x²/a²−y²/b²=1 と垂直な弦で囲まれる弓形の面積を、a・b・切断位置 x から数値積分で求めます。
入力
双曲線 x²/a²−y²/b²=1 の右の枝と、切断位置 x における垂直な弦で囲まれる弓形の面積を求めます。
頂点は x=a にあり、切断位置 x での高さは y₀ = b·√(x²/a²−1) です。
頂点より外側、a より大きい値
計算結果
弓形の面積
7.901763
横半軸 a
3
縦半軸 b
2
切断位置 x
6
半分の高さ y₀
3.464102
弦の長さ
6.928203
面積は長さの単位の2乗になります。a・b・x は同じ単位でそろえてください。
計算方法・使い方
- 双曲線は x²/a²−y²/b²=1 で表され、頂点は x=a にあります。切断位置 x における曲線の高さは y₀ = b·√(x²/a²−1) で、弦の長さはその2倍 2y₀ です。
- 弓形の面積は、頂点 a から弦 x までの矩形帯から曲線下の領域を引いた値を上下で合計したものです。式で書くと A = 2·∫[a..x] (y₀ − b·√(t²/a²−1)) dt となります。
- この積分を合成シンプソン公式による数値積分で評価しています。区間を十分細かく分割しているため、実用上は高い精度で面積が得られます。
- 切断位置 x は頂点より外側、つまり a より大きい必要があります。a 以下では弦が枝と交わらないため面積を定義できません。
- 面積の単位は長さの単位の2乗になります。a・b・x を同じ単位でそろえて入力してください。
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