不完全ガンマ関数 計算ツール
下側 γ(s,x) と上側 Γ(s,x)、正則化 P(s,x)・Q(s,x) を級数展開と連分数で高精度に計算します。
入力
パラメータ s と x を入力すると、下側・上側の不完全ガンマ関数と正則化された値 P・Q を計算します。
正の値を入力
0 以上の値を入力
計算結果
下側不完全ガンマ γ(s,x)
0.6466471676
s = 3, x = 2
上側 Γ(s,x)
1.3533528324
正則化 P(s,x)
0.3233235838
正則化 Q(s,x)
0.6766764162
完全ガンマ Γ(s)
2
正則化 P(s,t) のグラフ
横軸 t に対する P(s,t) の値です。オレンジの点が入力した x の位置を示します。
計算方法・使い方
- 下側不完全ガンマ関数 γ(s,x) は 0 から x までの t^(s-1)e^(-t) の積分、上側 Γ(s,x) は x から無限大までの積分です。両者の和は完全ガンマ Γ(s) になります。
- 正則化された値 P(s,x) = γ(s,x)/Γ(s) と Q(s,x) = Γ(s,x)/Γ(s) は 0 以上 1 以下で、P + Q = 1 を満たします。
- x が s+1 より小さい領域では P(s,x) を級数展開で、x が大きい領域では Q(s,x) を連分数で評価し、相補的に高精度を確保しています。
- 完全ガンマ Γ(s) は ln(Γ(s)) を Lanczos 近似で求めてから指数化しています。s は正の値、x は 0 以上を入力してください。
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