対数積分 li(x) 計算機
対数積分 li(x) とオフセット対数積分 Li(x) を計算。素数計数関数 π(x) の近似に使われる特殊関数を、指数積分 Ei との関係で高精度に評価します。
入力
対数積分 li(x)=∫₀ˣ dt/ln t（x＞1 は主値）とオフセット Li(x)=li(x)−li(2) を計算します。素数計数関数 π(x) の近似に使われます。
正の実数を入力。x=1 は特異点のため計算できません。
計算結果
li(100)
30.1261415841
オフセット Li(100)
29.080977804
ln x
4.605170186
入力 x
100
Li(x)=li(x)−li(2) は素数計数関数 π(x) の近似としてよく使われます。
li(x) のグラフ
計算方法・使い方
- 対数積分 li(x) は li(x)=∫_0^x dt/ln t で定義されます。被積分関数は t=1 で発散するため、x>1 ではコーシーの主値として解釈します。
- この計算機は指数積分 Ei との関係 li(x)=Ei(ln x) を利用して評価します。Ei は正の引数では冪級数または漸近展開、負の引数では連分数で数値計算しています。
- オフセット対数積分 Li(x)=li(x)−li(2) は x=2 から積分を始めた量で、特異点を避けられるため素数計数の文脈で好まれます。li(2) は約 1.04516378 です。
- 素数計数関数 π(x)（x 以下の素数の個数）は li(x) でよく近似され、Li(x) は π(x) のさらに良い近似を与えることが知られています。
- 入力 x は x>0 かつ x≠1 を満たす必要があります。x=1 では被積分関数が発散し li は負の無限大に発散します。
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