変形ベッセル関数 Iₙ(x)・Kₙ(x) 計算ツール
次数 n と x を入力して、変形ベッセル関数 第1種 Iₙ(x) と 第2種 Kₙ(x) を数値計算。隣接する次数やグラフ、次数別の一覧表も表示します。
入力
次数 n と x を入力すると、変形ベッセル関数 第1種 Iₙ(x) と 第2種 Kₙ(x) を計算します。x は正の実数、n は 0 以上の整数です。
0 以上の整数
正の実数
計算結果
第1種 I_0(1)
1.2660658778
第2種 K_0(1)
0.42102444
I の前の次数 (n-1 = 0 の隣)
0.565159104
I の次の次数 (n+1)
0.565159104
K の次の次数 (n+1)
0.60190723
Iₙ(x) と Kₙ(x) のグラフ (n = 0、対数縦軸)
Iₙ(x)（第1種、n = 0）
Kₙ(x)（第2種、n = 0）
次数別の値の一覧
| 次数 n | 第1種 Iₙ(x) | 第2種 Kₙ(x) |
|---|---|---|
| 0 | 1.26606588 | 0.42102444 |
| 1 | 0.5651591 | 0.60190723 |
| 2 | 0.02216842 | 1.6248389 |
| 3 | 0.00273712 | 7.10126282 |
計算方法・使い方
- 変形ベッセル関数は、変形ベッセル方程式 x^2 y'' + x y' - (x^2 + n^2) y = 0 の解です。第1種 Iₙ(x) は原点で有界に増大し、第2種 Kₙ(x) は x が大きくなると指数関数的に減衰します。
- 小さい x では冪級数を用います。第1種は Iₙ(x) = Σ (x/2)^(2k+n) / (k! (k+n)!) で計算し、高い次数では Miller の後退漸化式により安定に求めて I₀(x) で正規化します。
- 大きい x では漸近展開を用います。I₀, I₁ は e^x / sqrt(2 pi x) 倍の級数、Kₙ は sqrt(pi/(2x)) e^(-x) 倍の級数で評価します。
- 第2種は K₀, K₁ を対数項付きの級数で求め、上方漸化式 K(n+1) = K(n-1) + (2n/x) Kₙ で次数を上げます。隣接漸化式 I(n+1) = I(n-1) - (2n/x) Iₙ も利用しています。
- 入力 x は正の実数のみ対応します。次数 n は 0 以上の整数を指定してください。表示は実用的な精度の近似値です。
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