球ベッセル関数のゼロ点計算

球ベッセル関数 jₙ(x) または yₙ(x) の正のゼロ点を小さい順に求めます。種別・次数・個数を指定すると、ニュートン法で精密化した零点を一覧表とグラフで表示します。

入力

球ベッセル関数の種別・次数 n・求める個数を指定すると、正のゼロ点を小さい順に計算します。

関数の種別

次数 n

0 以上 50 以下の整数

求める個数

1 以上 30 以下の整数

第1種 jₙ(x) 次数 0 の最初のゼロ点

3.1415926536

関数とゼロ点の位置

球ベッセル関数は閉形式の漸化式で評価します。第1種は j0(x)=sin(x)/x、j1(x)=sin(x)/x^2 - cos(x)/x、第2種は y0(x)=-cos(x)/x、y1(x)=-cos(x)/x^2 - sin(x)/x を起点に、f(k+1)=((2k+1)/x)f(k) - f(k-1) で次数を上げます。
ゼロ点は微小刻みで符号変化を走査して粗い位置を挟み込み、二分法とニュートン法で精密化します。次数より小さい x の領域では j_n をべき級数で評価して数値的な不安定を避けています。
次数 n は 0 以上 50 以下の整数、個数は 1 以上 30 以下で指定します。値は概ね小数 10 桁程度の精度です。

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