エアリー導関数のゼロ点計算
エアリー導関数 Ai'(x) または Bi'(x) の負の実ゼロ点を、指定した個数だけ小さい順に求めます。漸近近似とニュートン法で高精度に算出し、表とグラフで確認できます。
入力
種別と個数を選ぶと、エアリー導関数 Ai''(x) または Bi''(x) の負の実ゼロ点を小さい順に計算します。
種別
Ai''(x) のゼロ点
1 から 30 までの整数で指定します。
計算結果
Ai''(x) のゼロ点 の最初のゼロ点
-1.0187929716
導関数とゼロ点の位置
| 番号 n | ゼロ点の値 |
|---|---|
| 1 | -1.0187929716 |
| 2 | -3.2481975822 |
| 3 | -4.8200992112 |
| 4 | -6.1633073556 |
| 5 | -7.3721772551 |
計算方法・使い方
- エアリー関数 Ai(x), Bi(x) と導関数 Ai'(x), Bi'(x) は、原点まわりで収束するべき級数で評価します。f(x) と g(x) の二つの基本級数を漸化的に項を更新しながら足し合わせ、定数 Ai(0) と Ai'(0) を用いて Ai'・Bi' を組み立てます。
- ゼロ点の初期値は漸近近似で与えます。Ai'(x) の n 番目の負ゼロは z=3π(4n-3)/8、Bi'(x) では z=3π(4n-1)/8 を用い、z^(2/3) に補正項を加えた値の符号を反転して近似します。
- 初期値からニュートン法で精密化します。導関数のゼロ点における傾きには、エアリー方程式から導かれる Ai''(x)=x·Ai(x)（Bi も同様）を使います。
- Ai'(x)=0 および Bi'(x)=0 の実数解はすべて負の領域にあります。結果は絶対値の小さい順に並べ、表とグラフで示します。
- 個数は 1 個から 30 個まで指定できます。べき級数は全平面で収束しますが、絶対値が大きい領域では桁落ちの影響が増えるため、表示桁数の範囲で十分な精度となるよう設計しています。
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