オーエンのT関数 計算機
オーエンのT関数 T(h,a) を数値積分で計算。2変量正規分布の確率や標準正規の累積・密度も同時に求めます。
入力
h と a を入力すると、オーエンのT関数 T(h,a) を数値積分で計算します。2変量正規分布の確率計算に使う特殊関数です。
任意の実数。多くは標準化した値（例 1）を入れます。
任意の実数。a が負なら符号が反転します（奇関数）。
計算結果
T(h, a)（h = 1, a = 0.5）
0.04306469
2変量正規確率 (1/2)Phi(h) − T(h,a)
0.37760768
標準正規 累積 Phi(h)
0.84134475
標準正規 密度 phi(h)
0.24197072
積 Phi(h)·(1 − Phi(h))
0.13348376
T(h, a) の曲線（a を変化）
被積分関数 g(x) の曲線
計算方法・使い方
- オーエンのT関数は T(h,a)=（1/2π）∫_0^a exp(−h²(1+x²)/2)/(1+x²) dx で定義される積分です。
- この計算機では区間 0 から a を細かく分割した合成シンプソン則で数値積分し、T(h,a) を求めます。
- T 関数は h について偶関数（T(−h,a)=T(h,a)）、a について奇関数（T(h,−a)=−T(h,a)）の対称性を持ちます。
- a=1 のとき 2·T(h,1)=Phi(h)·（1−Phi(h)) が成り立ちます。表示する積 Phi(h)(1−Phi(h)) はこの確認に使えます。
- 2変量正規確率 P(X≤h, Y≤0) は相関 rho（a=rho/√(1−rho²)）のとき （1/2)Phi(h)−T(h,a) で得られます。
- 標準正規の累積分布 Phi は誤差関数 erf を自前実装して計算しており、十分な精度があります。
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