球面調和関数 Y(l,m) 計算ツール
次数 l・位数 m と角度（余緯度 theta・方位角 phi）から球面調和関数 Y(l,m) の実部・虚部・絶対値・正規化係数を計算します。
入力
次数 l・位数 m と角度（余緯度 theta・方位角 phi）を入力すると、球面調和関数 Y(l,m) の実部・虚部・絶対値などを計算します。
0 以上の整数
-l 以上 l 以下の整数
極からの角度（0 から pi）
赤道面内の角度（0 から 2 pi）
角度の単位
選ぶと l と m が設定されます
計算結果
Y(l=2, m=1) の実部
-0.2365436739
単位は 1 / sqrt(ステラジアン)
虚部
-0.23654367
絶対値
0.33452327
絶対値の二乗
0.11190582
正規化係数
0.25751613
ルジャンドル陪関数
-1.29903811
偏角（ラジアン）
-2.35619449
Y(l=2, m=1) の絶対値の theta 依存性
横軸は theta が 0 から pi、縦軸は絶対値。ピーク値は約 0.41717614。
l=2 の各位数 m における絶対値
同じ theta における各位数の絶対値です。phi には依存しません。
| 位数 m | 絶対値 |
|---|---|
| -2 | 0.28970565 |
| -1 | 0.33452327 |
| 0 | 0.07884789 |
| 1 | 0.33452327 |
| 2 | 0.28970565 |
計算方法・使い方
- 球面調和関数は Y(l,m)(theta, phi) = N(l,m) かける P(l,m)(cos theta) かける exp(i m phi) で定義します。N(l,m) は正規化係数、P(l,m) はルジャンドル陪関数です。
- 正規化係数は N(l,m) = sqrt( (2l+1)/(4 pi) かける (l-m)!/(l+m)! ) で計算し、Condon-Shortley 位相を含む物理学で一般的な規約を用います。
- ルジャンドル陪関数 P(l,m) は P(m,m) = (-1)^m (2m-1)!! (1 - z^2)^(m/2) を起点とする三項漸化式で評価します（z = cos theta）。
- 位数 m は -l 以上 l 以下の整数に限ります。範囲外の m や負の次数 l はエラーになります。
- 負の位数は Y(l,-m) = (-1)^m かける conj( Y(l,m) ) の関係を用いて求めます。conj は複素共役を表します。
- 角度は度またはラジアンで入力できます。度を選んだ場合は内部で pi/180 を掛けてラジアンに変換します。
- 主要結果は実部です。虚部・絶対値・絶対値の二乗（確率密度に対応）・正規化係数・偏角を併せて表示します。
- 数値は浮動小数点で計算するため、次数 l が大きい場合や角度が特異点に近い場合は丸め誤差が生じることがあります。
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