ルジャンドル多項式 Pₙ(x) 計算
次数 n と x を入れるだけで、ルジャンドル多項式 Pₙ(x) の値を漸化式で計算します。前後の次数の値・導関数・係数列・グラフも表示。
入力
次数 n（0 以上の整数）と x を入力すると、ルジャンドル多項式 Pₙ(x) の値を漸化式で計算します。
0 以上の整数（最大 200）
任意の実数。−1 から 1 でグラフ表示
計算結果
P5(x) の値
0.08984375
x = 0.5 のとき
次数 n
5
P5₋₁(x)
-0.2890625
P5₊₁(x)
0.32324219
P5′(x) 導関数
-2.2265625
P5(x) のグラフ（−1 から 1）
青線が P{n}(x)、オレンジ点が入力した x の位置です。
P5(x) の係数列
x の各べきに対する係数です。0 の係数は省いています。
| x のべき | 係数 |
|---|---|
| 5 | 7.875 |
| 3 | -8.75 |
| 1 | 1.875 |
計算方法・使い方
- P0(x)=1、P1(x)=x を初期値とし、漸化式 (n+1)P(n+1)(x)=(2n+1)x Pn(x) − n P(n-1)(x) を n の順に適用して Pn(x) を求めます。
- 区間 −1 から 1 では Pn(x) の値は必ず −1 から 1 に収まり、n 個の零点を持ちます。グラフはこの区間で描画しています。
- 導関数は関係式 (x^2−1)Pn'(x)=n(x Pn(x) − P(n-1)(x)) で求め、x=±1 では Pn'(1)=n(n+1)/2 などの公式を用います。
- 係数列は P_n(x) を x のべきで展開した各項の係数で、整数の二項係数から組み立てています。誤差を抑えるため漸化式と閉形式を併用しています。
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