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ヤコビ多項式 計算機

次数 n、パラメータ α・β、点 x を入力すると、三項漸化式でヤコビ多項式 P_n^(α,β)(x) の値・導関数・各次数の値の表とグラフを表示します。

入力

直交多項式のヤコビ多項式 P_n^(α,β)(x) を三項漸化式で計算します。次数 n、パラメータ α・β、点 x を入力してください。

0 以上の整数

-1 より大きい実数

-1 より大きい実数

通常は -1 から 1 の範囲

計算結果

P_4^(α=1,β=1) の値

-0.7421875

x = 0.5 における値

次数 n

4

パラメータ α

1

パラメータ β

1

導関数 P_4 一階

-2.1875

P_4 のグラフ

区間 -1 から 1 上の曲線です。オレンジの点が入力した x の位置を表します。

各次数 k における P_k の値

次数 0 から n まで漸化式で順に計算した値です。

次数 kP_k の値
01
11
20.1875
3-0.625
4-0.7421875

計算方法・使い方

  • ヤコビ多項式 P_n^(α,β)(x) は重み (1-x)^α (1+x)^β に対し区間 -1 から 1 で直交する直交多項式です。本ツールは三項漸化式で値を逐次計算します。
  • 初期値は P_0(x) = 1、P_1(x) = (1/2)[(α-β) + (α+β+2)x] です。以降は標準形の三項漸化式 c1 P_n = (c2 x + c3) P_(n-1) - c4 P_(n-2) で次数を 1 つずつ上げて求めます。
  • パラメータは収束と直交性のため α が -1 より大きく、β も -1 より大きい範囲を想定しています。
  • 導関数は関係式 d/dx P_n^(α,β)(x) = (1/2)(n+α+β+1) P_(n-1)^(α+1,β+1)(x) を用いて計算します。
  • α = β = 0 のときヤコビ多項式はルジャンドル多項式 P_n(x) に一致します。
  • α = β のときは（定数倍を除き）ゲーゲンバウアー（超球）多項式に対応し、α = β = -1/2 で第一種チェビシェフ多項式、α = β = 1/2 で第二種チェビシェフ多項式に比例します。
  • 端点では P_n^(α,β)(1) = 二項係数 C(n+α, n)、P_n^(α,β)(-1) = (-1)^n C(n+β, n) という値をとります。
  • 非常に大きな次数や大きな α・β では浮動小数点の桁あふれや丸め誤差が生じることがあります。結果が有限でない場合は範囲を見直してください。

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