第2種チェビシェフ多項式 Uₙ(x) 計算
次数 n と x を入力して第2種チェビシェフ多項式 Uₙ(x) を漸化式で計算。隣接次数・導関数・係数表・グラフも表示します。
入力
第2種チェビシェフ多項式 Uₙ(x) を三項漸化式 U(n+1)=2x·Un−U(n-1) で計算します。次数 n と x を入力してください。
0 以上の整数（最大 200）
任意の実数
計算結果
U_5(x) の値（n = 5）
0
x = 0.5 のとき
次数 n
5
U_5 直前 U(n-1)(x)
-1
U_5 直後 U(n+1)(x)
1
導関数 Un'(x)
-8
U_5(x) のグラフ（-1 から 1）
区間 -1 から 1 における Un(x) の振る舞いです。橙の点は入力した x の位置を表します。
U_5(x) の係数（x のべき別）
各行は x のべきと、その項の係数を表します。値が 0 の項は省いています。
| x のべき | 係数 |
|---|---|
| 5 | 32 |
| 3 | -32 |
| 1 | 6 |
計算方法・使い方
- 第2種チェビシェフ多項式は U0(x)=1、U1(x)=2x を初期値とし、三項漸化式 U(n+1)(x)=2x·Un(x)−U(n-1)(x) で順に計算します。
- x が cosθ で表せる区間 -1 から 1 では Un(cosθ)=sin((n+1)θ)/sinθ が成り立ち、グラフは振動します。この区間で Un(x) の絶対値は n+1 を超えません。
- 導関数は (x²−1)Un'(x)=n·x·Un(x)−(n+1)·U(n-1)(x) を用い、x=±1 の特異点では Un'(1)=n(n+1)(n+2)/3 などの閉じた公式で補います。
- 係数表は Un(x) を x のべきで展開した各次数の係数を、係数自身の漸化式で整数として組み立てた結果です。
- 次数 n が大きく x の絶対値が 1 を超えると Un(x) は急速に増大し、浮動小数点の丸め誤差が大きくなります。
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