第1種チェビシェフ多項式 Tₙ(x) 計算
次数 n と x を入力して、第1種チェビシェフ多項式 Tₙ(x) の値を三項漸化式で計算します。隣接次数や導関数、係数表、グラフも表示します。
入力
第1種チェビシェフ多項式 Tₙ(x) を三項漸化式で計算します。次数 n と x を入力してください。
0 以上 200 以下の整数
任意の実数（−1 から 1 で cos 表現が成立）
計算結果
Tₙ(x) の値（n = 5）
0.5
x = 0.5 における値
次数 n
5
T(n−1)(x)（n = 5）
-0.5
T(n+1)(x)（n = 5）
1
導関数 Tₙ'(x)（n = 5）
-5
Tₙ(x) のグラフ（n = 5）
横軸は x（−1 から 1）、縦軸は Tₙ(x)。オレンジの点は入力した x の位置です。
Tₙ(x) の係数表（n = 5）
x の各べきに対する係数を最高次から順に並べています。
| x のべき | 係数 |
|---|---|
| 5 | 16 |
| 3 | -20 |
| 1 | 5 |
計算方法・使い方
- 第1種チェビシェフ多項式は三項漸化式 T0(x)=1、T1(x)=x、T(n+1)(x)=2x·Tn(x)−T(n-1)(x) で定義されます。このツールはこの漸化式を 0 次から順に進め、Tn(x) と隣接する T(n-1)(x)・T(n+1)(x) を同時に求めます。
- 区間 −1 ≤ x ≤ 1 では Tn(x)=cos(n·arccos x) が成り立ち、値は必ず −1 から 1 の範囲に収まります。グラフはこの区間で描画しています。
- 導関数は第2種チェビシェフ多項式 Un との関係 Tn の導関数 = n·U(n-1)(x) を使い、U も同じ三項漸化式で計算しています。
- 係数表は Tn(x) を x のべきで展開したときの各次数の係数で、最高次から順に並べています。例えば T5(x)=16·x^(5)−20·x^(3)+5·x です。
- 次数 n は 0 以上 200 以下の整数を入力してください。範囲外や非整数を入れるとエラーになります。
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