ラゲール多項式 Lₙ(x) 計算
次数 n と x を入力すると、三項漸化式でラゲール多項式 Lₙ(x) の値・隣接次数・導関数・係数列をすぐに計算します。
入力
ラゲール多項式 Lₙ(x) を三項漸化式で計算します。次数 n と x を入力してください。
0 以上 200 以下の整数
任意の実数
計算結果
L_4(x) の値
-0.2890625
x = 1.5 のとき
次数 n
4
L_(4-1)(x)
-0.6875
L_(4+1)(x)
0.11640625
導関数 L_4'(x)
1.0625
L_4(x) のグラフ
区間 0 から 10 の曲線。オレンジの点が入力した x の位置です。
L_4(x) の係数列
x の各べきに対する係数を高い次数から並べています。
| x のべき | 係数 |
|---|---|
| 4 | 0.04166667 |
| 3 | -0.66666667 |
| 2 | 3 |
| 1 | -4 |
| 0 | 1 |
計算方法・使い方
- ラゲール多項式は L_0(x)=1、L_1(x)=1−x を初期値とし、三項漸化式 (n+1)L_(n+1)(x)=(2n+1−x)Lₙ(x)−nL_(n-1)(x) で評価します。
- 区間 [0, ∞) において重み関数 e^(−x) のもとで直交する多項式で、水素原子の動径波動関数など量子力学で現れます。
- 係数列は閉じた式 Lₙ(x)=Σ_(k=0..n) (−1)^k C(n,k)/k! x^k から整数演算で組み立てています。
- 導関数は微分漸化式 x Lₙ'(x)=n(Lₙ(x)−L_(n-1)(x)) から求め、x=0 では Lₙ'(0)=−n を用います。
- 次数 n が大きく x も大きいと値が急増し浮動小数点の丸め誤差が増えるため、表示は概算とお考えください。
- 次数 n は 0 以上 200 以下の整数を入力してください。
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