ラゲール陪多項式 Lₙᵅ(x) 計算
次数 n・パラメータ α・x を入力し、ラゲール陪多項式（一般化ラゲール）Lₙᵅ(x) の値を三項漸化式で計算します。隣接次数・導関数・係数列・グラフも表示。
入力
次数 n、パラメータ α、x を入力すると、ラゲール陪多項式（一般化ラゲール）Lₙᵅ(x) の値を三項漸化式で計算します。
0 以上の整数
実数（α = 0 で通常のラゲール）
任意の実数
計算結果
Lₙᵅ(x)（n = 3, α = 1）
-1.3333333333
x = 2 における値
次数 n
3
パラメータ α
1
L₍ₙ₋₁₎ᵅ（n = 3）
-1
L₍ₙ₊₁₎ᵅ（n = 3）
-1
導関数 Lₙᵅ′（n = 3）
-0
Lₙᵅ(x) のグラフ（n = 3）
オレンジの点が入力した x における値を示します。
Lₙᵅ(x) の係数（n = 3, α = 1）
x の各べきに対する係数を高い次数から並べています。
| x のべき | 係数 |
|---|---|
| 3 | -0.16666667 |
| 2 | 2 |
| 1 | -6 |
| 0 | 4 |
計算方法・使い方
- ラゲール陪多項式（一般化ラゲール多項式）Lₙᵅ(x) は三項漸化式 (n+1)Lₙ₊₁ᵅ(x) = (2n+1+α−x)Lₙᵅ(x) − (n+α)Lₙ₋₁ᵅ(x) で計算します。初期値は L₀ᵅ(x) = 1、L₁ᵅ(x) = 1+α−x です。
- α = 0 のとき通常のラゲール多項式 Lₙ(x) に一致します。
- 導関数は関係式 d/dx Lₙᵅ(x) = −Lₙ₋₁^(α+1)(x) から求めています。
- 係数列は閉じた表現 Lₙᵅ(x) = Σ (−1)ᵏ C(n+α, n−k) / k! · xᵏ（k は 0 から n）で組み立てており、α が実数でも計算できます。
- 重み w(x) = xᵅ e^(−x) のもと区間 0 ≤ x で直交し、量子力学では水素原子の動径波動関数に Lₙᵅ(x) が現れます。
- 次数 n が大きい、または x が大きい領域では浮動小数点の桁落ちにより誤差が増えることがあります。
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