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ルジャンドル陪関数 計算機

次数 n・位数 m と x を入力して、ルジャンドル陪関数 Pₙᵐ(x) を漸化式で計算します。球面調和関数の構成要素を可視化。

入力

次数 n、位数 m(0≤m≤n)、引数 x(-1≤x≤1)を入力すると、ルジャンドル陪関数 Pₙᵐ(x) を漸化式で計算します。

0 以上の整数

0 以上 n 以下の整数

-1 以上 1 以下

計算結果

P3^1(x)

-0.3247595264

x = 0.5

次数 n

3

位数 m

1

次数 3・位数 1 の曲線 Pₙᵐ(x)(-1 ≤ x ≤ 1)

−11x-0.32475953

次数 3 における位数ごとの値

位数 mPₙᵐ(x)
0-0.4375
1-0.32475953
25.625
3-9.74278579

計算方法・使い方

  • ルジャンドル陪関数 Pₙᵐ(x) を、次数 n(0以上の整数)・位数 m(0≤m≤n の整数)・引数 x(-1≤x≤1)から計算します。
  • 計算には標準的な漸化式を用います。まず Pₘᵐ(x) を二重階乗と (1-x²)^(m/2) から求め、次数を 1 つ上げる関係式と、3 項漸化式で目的の次数まで引き上げます。
  • 位相は Condon-Shortley 規約(係数 (-1)ᵐ を含む)に従います。m≥1 のとき端点 x=±1 では値は 0 になります。
  • Pₙᵐ(x) は球面調和関数 Yₙᵐ(θ,φ) の構成要素で、緯度方向(θ)の依存性を担います(x=cosθ)。
  • m=0 のときは通常のルジャンドル多項式 Pₙ(x) に一致します。

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