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t分布パーセント点（臨界値）計算

確率pと自由度νから、スチューデントのt分布のパーセント点（臨界値t）を求めます。下側・上側・両側に対応し、t検定や信頼区間の臨界値表づくりに使えます。

入力

確率pと方式、自由度νを入力すると、スチューデントのt分布のパーセント点（臨界値t）を計算します。

方式

下側確率がpになるt値、すなわち T が t 以下となる確率がp。

0より大きく1より小さい値。例: 0.975

正の値。整数でなくても構いません。例: 10

計算結果

下側・p=0.975・自由度ν=10 のt値

2.22813885

自由度 ν

10

確率 p

0.975

下側累積確率 P(T ≤ t)

0.975

上側確率 P(T greater than t)

0.025

確率密度 f(t)

0.04238498

平均

0

分散

1.25

確率密度関数 PDF

累積分布関数 CDF

計算方法・使い方

  • スチューデントのt分布の累積分布関数は正則化不完全ベータ関数 I_x(a,b) で表せます。自由度νのとき、x = ν/(ν + t^2) として、t が0以上なら P(T ≤ t) = 1 - 0.5 I_x(ν/2, 1/2)、t が0未満なら P(T ≤ t) = 0.5 I_x(ν/2, 1/2) となります。
  • パーセント点は、方式に応じて目標とする下側確率を作り、t について単調増加なCDFの逆関数を二分法で求めます。下側は P(T ≤ t)=p、上側は P(T ≤ t)=1-p、両側は P(T ≤ t)=(1+p)/2 を解きます。
  • 確率密度は f(t) = Γ((ν+1)/2) / (sqrt(νπ) Γ(ν/2)) かける (1 + t^2/ν)^(-(ν+1)/2) です。平均は自由度が1より大きいとき0、分散は自由度が2より大きいとき ν/(ν-2) です。
  • ガンマ関数の対数はLanczos近似、正則化不完全ベータ関数はLentz法の連分数展開で評価しています。確率pは0より大きく1より小さい値、自由度νは正の値を入力してください。

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