算術幾何平均（AGM）計算
2つの正の数 a, b の算術平均と幾何平均を収束するまで反復して、算術幾何平均（AGM）を求めます。各反復の過程も表示します。
入力
2つの正の数を入力すると、算術平均と幾何平均を収束するまで反復し、算術幾何平均（AGM）を計算します。
a と b はどちらも正の数を入力してください。
計算結果
AGM（1, 2）
1.45679103
算術平均
1.5
幾何平均
1.41421356
反復回数
4
反復の過程
各反復での算術平均と幾何平均、そしてその差を示します。差が0に近づくほど収束しています。
| 回 | 算術平均 | 幾何平均 | 差 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.5 | 1.41421356 | 0.08578644 |
| 2 | 1.45710678 | 1.45647532 | 0.00063147 |
| 3 | 1.45679105 | 1.45679101 | 0.00000003 |
| 4 | 1.45679103 | 1.45679103 | 0 |
反復は a'' = (a + b) / 2、b'' = √(ab) を繰り返します。算術平均は常に幾何平均以上のため、2数は共通の極限へ二次的に収束します。
計算方法・使い方
- 算術幾何平均は、2数 a と b に対して算術平均 (a+b)/2 と幾何平均 √(ab) を交互に計算し、両者が一致するまで反復したときの共通の極限値です。
- 算術平均は常に幾何平均以上なので、各反復で2数の差は二次的に急速に縮まり、わずか数回で高い精度に収束します。
- 算術幾何平均はガウスによって研究され、第一種完全楕円積分の値を高速に求める計算などに利用されます。
- 入力 a と b はともに正の数である必要があります。a と b が等しい場合、算術幾何平均はその値そのものになります。
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