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完全楕円積分 K(k)・E(k) 計算

母数 k を入力すると、第1種完全楕円積分 K(k) と第2種完全楕円積分 E(k) を算術幾何平均（AGM）法で高精度に計算します。

入力

母数 k（0以上1未満）を入力すると、第1種完全楕円積分 K(k) と第2種完全楕円積分 E(k) を算術幾何平均（AGM）法で計算します。

0 以上 1 未満の実数（k 規約。パラメータ m = k の2乗とは異なります）

計算結果

第1種完全楕円積分 K(k) ・ k = 0.5

1.6857503548

第2種 E(k) ・ k = 0.5

1.4674622093

母数 k

0.5

パラメータ m = k の2乗

0.25

補完母数の K(k'')

2.1565156475

K(k) と E(k) のグラフ

K(k) 第1種

E(k) 第2種

計算方法・使い方

  • 第1種完全楕円積分 K(k) と第2種完全楕円積分 E(k) を算術幾何平均（AGM）法で計算します。
  • 入力は母数 k（modulus）です。0以上1未満の範囲で受け付けます。本ツールは k 規約を採用しており、パラメータ m = k の2乗との混同に注意してください。
  • AGM 反復は a0=1, b0=√(1−k²) から始め、収束値 M を用いて K(k)=π/(2M) を求めます。
  • E(k) は AGM 反復中に生じる差 c_n の二乗和から E(k)=K(k)・(1−Σ 2^(n−1) c_n²) として算出します。
  • 補完母数 k'=√(1−k²) に対する K(k') も併せて表示します。
  • k が1に近づくと K(k) は対数的に発散します。グラフは見やすさのため縦軸を一定値でクリップしています。

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