第2種不完全楕円積分 E(φ,k) 計算

振幅φと母数kから第2種不完全楕円積分 E(φ,k) をCarlson対称形式で計算します。完全楕円積分E(k)や被積分関数のグラフも表示します。

入力

振幅φ（ラジアン）と母数k（−1から1）を入力すると、第2種不完全楕円積分 E(φ,k) をCarlson対称形式で計算します。

振幅 φ（ラジアン）

積分の上端。任意の実数（例 π/4 ≈ 0.7854）

母数 k

−1 から 1 の値。パラメータは m = k の二乗

E(φ=0.785398, k=0.5) の値

0.7671959857

E(φ,k) / φ（平均値）

0.9768242676

完全楕円積分 E(k=0.5)

1.4674622093

パラメータ m = k の二乗

0.25

被積分関数 sqrt(1 − k²sin²θ)（0 から φ）

第2種不完全楕円積分は E(φ,k)=∫_0^φ sqrt(1−k^2 sin^2 θ) dθ で定義されます。φは振幅、kは母数（modulus）です。
本ツールは母数kを入力する規約を採用しています。パラメータ m=k^2 とは区別してください（一部の文献では E(φ|m) のように m を引数にします）。
計算はCarlsonの対称楕円積分 R_F と R_D を用い、E=sin(φ)·R_F(cos^2 φ, 1−k^2 sin^2 φ, 1) − (k^2 sin^3 φ /3)·R_D(cos^2 φ, 1−k^2 sin^2 φ, 1) で求めます。
実数の被積分関数を保つため |k| が1以下である必要があります。φは任意の実数を入力でき、準周期性 E(φ+π)=E(φ)+2E(k) を用いて評価します。
Statには E(φ,k)/φ（平均的な被積分関数値）を表示します。φ=π/2 のとき値は完全楕円積分 E(k) に一致します。

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