第3種完全楕円積分 Π(n,k) 計算

特性 n と母数 k を入力して、第3種完全楕円積分 Π(n,k) を高精度に計算します。第1種 K(k) も同時に表示し、母数を変えたグラフも描画します。

入力

特性 n と母数 k を入力すると、第3種完全楕円積分 Π(n,k) を計算します。母数は内部で m=k² として扱います。

特性 n

被積分関数の (1 − n sin²θ) に入る値。実数の主値には n ＜ 1 が必要です。

母数 k

√(1 − k² sin²θ) に入る母数。収束には絶対値が 1 未満である必要があります。

Π(n=0.5, k=0.5) の値

2.4136715042

特性 n

0.5

母数 k

0.5

母数の2乗 m = k²

0.25

第1種 K(k)

1.6857503548

母数 k に対する Π(n,k) の変化（n は固定）

第3種完全楕円積分は Π(n,k)=∫_0^(π/2) dθ/((1−n sin²θ)√(1−k²sin²θ)) で定義されます。θ は積分変数、n は特性、k は母数です。
母数の規約: 本ツールは母数 k を入力とし、内部で母数の2乗 m=k² を用います。文献によっては母数の2乗 m を第2引数に取る Π(n,m) 表記もあるため、参照値と比べる際は規約を確認してください。
計算は Carlson の対称積分を独自実装しています。K(k)=R_F(0,1−m,1)、Π(n,k)=K(k)+(n/3)·R_J(0,1−m,1,1−n) という恒等式を用います。
収束条件として母数は |k|<1（m<1）が必要です。また特性 n≥1 では被積分関数に特異点が生じ実数の主値にならないため、本ツールでは範囲外として扱います。
特性 n=0 のとき Π(0,k) は第1種完全楕円積分 K(k) に一致します。グラフは特性 n を固定し、母数 k を 0 から動かしたときの Π(n,k) の変化を示します。

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