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第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k) 計算ツール

振幅φ・特性n・母数kを入力すると、第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k) を Carlson 対称形式で高精度に計算します。

入力

振幅 φ（ラジアン）・特性 n・母数 k を入力すると、第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k) を計算します。

積分の上端。例: π/4 ≈ 0.785398

実数。n sin²φ = 1 に近い値は計算できません。

|k| ≤ 1 の値。m = k² が母数 m です。

計算結果

第3種不完全楕円積分 Π(φ,n,k)

0.8930657289

特性 n

0.5

母数 k

0.5

振幅 φ

0.785398

母数 m = k²

0.25

Π(t,n,k) の推移（t = 0 から φ）

計算方法・使い方

  • 第3種不完全楕円積分は Π(φ,n,k)=∫_0^φ dθ/((1−n sin²θ)√(1−k²sin²θ)) で定義されます。
  • 母数は k を採用し、k²=m を母数 m と呼ぶ規約です。入力欄の k には |k|≤1 の値を与えてください（k²sin²θ が 1 を超えると被積分関数が実数でなくなります）。
  • 特性 n は実数で、n sin²φ=1 に近いと積分が極を持つため計算できません（その近傍は除外します）。
  • 計算は Carlson 対称楕円積分 R_F と R_J を用い、Π=sinφ·R_F(cos²φ, 1−k²sin²φ, 1)+(n/3)sin³φ·R_J(cos²φ, 1−k²sin²φ, 1, 1−n sin²φ) で評価します。
  • 振幅 φ はラジアンで指定します。例として π/4 は約 0.7853981634 です。
  • R_F・R_J は反復縮約により収束させ、おおむね10桁程度の精度が得られます。

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