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第1種不完全楕円積分 F(φ,k) 計算

振幅φと母数kから第1種不完全楕円積分 F(φ,k) をCarlson対称形式で高精度に計算します。完全楕円積分K(k)との比も表示。

入力

振幅φと母数kを入力すると、第1種不完全楕円積分 F(φ,k) をCarlson対称形式で計算します。

積分の上端となる角度

角度の単位

−1 から 1 の値（m=k² の流儀では k を入力）

計算結果

F(φ=45度, k=0.5)

0.8043661012

比 K(k)/F(φ,k)

2.095750122

完全楕円積分 K(k)

1.6857503548

被積分関数 1/√(1−k²sin²θ)

計算の詳細

振幅 φ（ラジアン）0.7853981634
母数 k0.5
パラメータ m = k²0.25
F(φ, k)0.8043661012
完全楕円積分 K(k)1.6857503548

計算方法・使い方

  • 第1種不完全楕円積分 F(φ,k)=∫_0^φ dθ/√(1−k²sin²θ) を計算します。φは振幅、kは母数です。
  • 母数の規約はkを用います。パラメータmで表す流儀では m=k² にあたるため、入力欄には m ではなく k を入れてください。
  • 計算はCarlsonの対称形式 R_F を用い、F(φ,k)=sin(φ)·R_F(cos²φ, 1−k²sin²φ, 1) として評価します。
  • R_F は引数の差が小さくなるまで複製を繰り返し、平均値まわりのテイラー展開で求める安定した手法です。
  • φがπ/2を超える場合は周期性 F(φ+nπ,k)=2nK(k)+F(φ,k) を用いて主区間に分解します。
  • Stat には完全楕円積分 K(k) と F(φ,k) の比 K(k)/F(φ,k) を表示します。φがπ/2のときこの比は1になります。
  • 母数kは −1 から 1 の範囲で入力してください。範囲外では積分が実数で定義されません。
  • 角度の単位は度とラジアンから選べます。度を選ぶと内部でラジアンへ変換して計算します。

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