円周率計算（ガウス=ルジャンドル法・算術幾何平均）
算術幾何平均（AGM）を使うガウス=ルジャンドル法で円周率πを計算。反復回数を選ぶと各反復での近似値と誤差、有効桁数、収束過程の表を表示します。
入力
反復回数を選ぶと、ガウス=ルジャンドル法（算術幾何平均）で円周率πを計算します。
反復回数
4
反復ごとに正しい桁数がおよそ2倍になります。倍精度では数回でπの全桁が一致します。
計算結果
反復 4 回後の π の近似値
3.14159265359
一致する有効桁数
約 15 桁
絶対誤差
8.882e-16
参照値 π
3.14159265359
反復ごとの収束過程
各反復後の近似値と、参照πとの絶対誤差です。誤差が急速に小さくなる様子がわかります。
| 反復 | 近似値 | 絶対誤差 |
|---|---|---|
| 1 | 3.140579250522 | 1.013e-3 |
| 2 | 3.141592646214 | 7.376e-9 |
| 3 | 3.14159265359 | 8.882e-16 |
| 4 | 3.14159265359 | 8.882e-16 |
計算の手順
初期値を a=1、b=1÷√2、t=1÷4、p=1 と置きます。
新しい a は古い a と b の算術平均 (a+b)÷2 です。
新しい b は古い a と b の幾何平均、a×b の平方根です。
補正項を t から p×(古い a − 新しい a)の2乗 だけ引いて更新し、重み p を2倍にします。
近似値は (a+b)の2乗 ÷ (4×t) で求めます。反復のたびに桁が約2倍に増えます。
誤差は倍精度浮動小数点で表せる円周率との差です。倍精度では数回の反復で約15桁の機械精度に達します。
計算方法・使い方
- ガウス=ルジャンドル法は初期値 a=1、b=1÷√2、t=1÷4、p=1 から始め、各反復で a と b を算術平均・幾何平均で更新し、補正項 t と重み p を更新します。
- 各反復後の近似値は (a+b)の2乗 ÷ (4×t) で求めます。算術平均と幾何平均の差が2次的に縮むため、正しい桁数が反復ごとにおよそ2倍になります。
- 誤差は倍精度浮動小数点で表せる円周率との絶対差として表示します。倍精度では数回の反復で機械精度（約15桁）に到達するため、それ以上反復しても表示桁数は増えません。
- 有効桁数は誤差の大きさから概算した目安です。
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